Centro De Masa

Centro de Masa Aplicaciones a la Geometría

Yoan Hernández Rodríguez Correo: Yoanh@uclv.edu.cu Facultad de Matemática, Física y Computación, UCLV. Cuba

Resumen: La geometría como un marco de trabajo para la descripción y medida de las figuras fue desarrollada empíricamente en muchas culturas hace varios miles de años. La geometría como una ciencia que compila una colección de proposicionesabstractas acerca de formas ideales y pruebas de estas proposiciones, fue fundada alrededor de los 600 años a.C. en la cultura Griega por Thales, quién de acuerdo a la leyenda propuso varios teoremas en geometría. Muchas han sido las herramientas diseñadas para la resolución de problemas geométricos. En este trabajo se propone una herramienta mas, basada en un concepto físico como lo es el de“Centro de Masa”. Inicialmente se muestran una serie de definiciones y propiedades imprescindibles. Además se proponen ejemplos clásicos de la geometría plana para ilustrar la aplicabilidad y eficiencia de este método.

Centro de Masa
Definición: En el plano está dado un sistema de puntos a los cuales se le asocian determinadas masas, es decir se tiene el conjunto de pares donde los , son puntos delplano y los , , los valores de las masas asociadas. Definiremos el Centro de Masa del sistema de puntos con masas al punto O para el cual se cumple , donde es el vector nulo. Ejemplos: n=2

(1) ¿Cómo se determina la posición del punto O (centro de masa) respecto a dos puntos? Analicemos dos casos: a) Siendo Sea un vector que posee modulo, dirección y sentido. el módulo del vector , entonces esun vector cuyo módulo es . Para el sistema analizado se cumple , pero como entonces

Para que se cumpla esta igualdad es necesario que: , es decir que sean vectores opuestos (de igual módulo) . De aquí que O esta en el punto medio de . b) ¿Se encontrará en este caso el centro de masa en el punto medio del segmento? . La igualdad significa que los vectores son opuestos y tienen el mismo módulo. Esválido aclarar que aclarar que , ; quiere decir que los valores del módulo y la masa se complementan mutuamente para que se cumpla la igualdad. De aquí que la posición de O esta determinada por los valores de las masas.

En este caso el punto O se encuentra mas cercano al punto de mayor masa. Si , tenemos:

o sea

están en la razón 2:1, lo que significa geométricamente lo siguiente:Nota: La relación (2) es muy utilizada en la demostración de propiedades geométricas relacionadas con razones entre segmentos. Teorema: El centro de masa de cualquier sistema de puntos existe y es único. Demostración: Sean X y O puntos cualesquiera, entonces . El punto O es el centro de masa del sistema si y solo si , pero como , entonces

(3) Ahora como De ser Propiedades: y , X no es el centro demasa del sistema.

tenemos que X = 0, o sea que O es único.

P1. El centro de masa esta determinado por los valores de las masas de los puntos a que pertenece.

P1´. Para cualquier sistema de puntos si el centro de masa esta dado se pueden buscar valores de masa tales que la posición de dicho centro no varía. P2. Si X es un punto cualquiera del plano y O es el centro de masa de los puntos, entonces: ser . con masas

Demostración: La demostración se desprende de la relación (3). P3. La propiedad más importante del centro de masa y en la cual se basan casi todas sus aplicaciones es en el agrupamiento de puntos. Teorema sobre agrupamiento de puntos: El centro de masa de un sistema de puntos permanece invariante si parte de los puntos del sistema se sustituye por un punto el cualesta situado en su centro de masa y al cual se le asocia la masa igual a la suma de las masas de éstos puntos.

Sea

el centro de masa de

o sea

y

Generalizando tenemos:

El centro de masa del sistema de puntos con masas coincide con el centro de masa de los dos puntos X- centro de masa del primer sistema y Y- centro de masa del segundo sistema con masas . Demostración: Sea Z un...