centro de masa

23/07/13

Problemas de centro de masa

Problemas de centro de masa
Problema 1

Hallar la posición del c. m. del triángulo de la figura.
Solución
Ecuación de la recta (hipotenusa) y = −

ab

x+a

Elemento diferencial de área, dA=y·dx
x cm =

∫ x ⋅ dA
=
∫ dA

1
b
3
b

∫ x ⋅ dA = ∫ x(y ⋅ dx) = ∫ x(−
0
b

∫ dA = ∫ y ⋅ dx = ∫ (−
0

a
1
x + a)dx = ab2
b
6

a
1x + a)dx = ab
b
2



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Problemas de centro de masa

Elemento diferencial de área, dA=x·dy

y cm =

∫ y ⋅ dA
=
∫ dA

1
a
3
a

∫ y ⋅ dA = ∫ y(x ⋅ dy) = ∫ x(−
0a

∫ dA = ∫ x ⋅ dy = ∫ (−
0

b
1
y + b)dy = a2 b
a
6

b
1
x + b)dy = ab
a
2

Problema 2

Determinar la posición del centro de masa de la siguiente figura plana y homogénea,formada por la región comprendida entre la parábola y=2x 2/3 y el eje X, y la
rectax=3.

Solución
Elemento diferencial de área, dA=y·dx



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Problemas de centro de masa

x cm =∫ x ⋅ dA
=
∫ dA

9
4
3

∫ x ⋅ dA = ∫ x(y ⋅ dx) = ∫ x
0
3

∫ dA = ∫ y ⋅ dx = ∫
0

2 2
27
x ⋅ dx =
3
2

2 2
x ⋅ dx = 6
3

Elemento diferencial de área, dA=(3-x)·dy

y cm =∫ y ⋅ dA
=
∫ dA

9
5
3

∫ y ⋅ dA = ∫ y(3 − x) ⋅ dy = ∫
0

2 2
4
54
x (3 − x) x ⋅ dx =
3
3
5

3

∫ dA = ∫ (3 − x) ⋅ dy = ∫ (3 − x)
0

4
x ⋅ dx = 6
3

Problema 3Determinar la posición del centro de masa de la siguiente figura plana y
homogénea formada por un rectángulo y un cuarto de círculo.

Solución
Centro de masa del rectángulo de área 50, x 1 =-2.5, y1 =5Centro de masa del cuarto de círculo de área π·102/4=25π.
El eje de simetría es la bisetriz del primer cuadrante x 2 =y2



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Problemas de centro de masa

Calculamos x 2 o y2. Elemento diferencial de área, dA=y·dx

x cm =

∫ x ⋅ dA
=
∫ dA

4R
40
=
3π 3π
R

−−−−−−−
1
∫ x ⋅ dA = ∫ x(y ⋅ dx) = ∫ x √ R 2 − x 2 dx = R 3
3
0

R

0

−−−−−−−
2
2
∫ dA...