Ceros De Funciones No Lineales

METODOS NUMERICOS. PRACTICA 1

CEROS DE FUNCIONES NO LINEALES

En un circuito LRC, la potencia media viene dada por la función:

Donde: εeff → es la tensión efectiva. R → es la resistencia del circuito. L → es la impedancia. ω → es la frecuencia de la corriente alterna. ω02 → es la frecuencia de resonancia. Que se calcula con la siguiente fórmula:

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C → es la capacidad el capacitor.Si en nuestro circuito tenemos que: Para resolver la práctica vamos a emplear los siguientes métodos de búsqueda de raíces de una función: METODO DE BISECCION. εeff = 110 V R = 200 Ω L=2H C = 2 μF = 0,000002 F

El método de bisección es un algoritmo de búsqueda de raíces que trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raíz. Este es uno de los métodosmás sencillos y de fácil intuición para resolver ecuaciones en una variable. Se basa en el Teorema de los Valores Intermedios (TVI), el cual establece que toda función continua f es un intervalo cerrado [a,b]. Toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b). Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo [a,b]. En caso de que f(a) y f(b) tengansignos opuestos, el valor cero sería un valor intermedio entre f(a) y f(b), por lo que con certeza existe un p en [a,b] que cumple f(p)=0. De esta forma, se asegura la existencia de al menos una solución de la ecuación f(a)=0. El método consiste en lo siguiente: de antemano, debe existir seguridad sobre la continuidad de la función f(x) en el intervalo [a,b]. A continuación se verifica que . Secalcula el punto

METODOS NUMERICOS. PRACTICA 1 medio m del intervalo [a,b] y se evalúa f(m) si ese valor es igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada. En caso de que no lo sea, verificamos si f(m) tiene signo opuesto con f(a) o con f(b). Se redefine el intervalo [a, b] como [a, m] ó [m, b] según se haya determinado en cuál de estos intervalos ocurre un cambio de signo. Con este nuevointervalo se continúa sucesivamente encerrando la solución en un intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada. El método de bisección es menos eficiente que el método de Newton, pero es mucho más seguro para garantizar la convergencia. Si f es una función continua en el intervalo [a, b] y f(a)f(b) < 0, entonces este método converge a la raíz de f. De hecho, una cota del errorabsoluto es:

en la n-ésima iteración. La bisección converge linealmente, por lo cual es un poco lento. Sin embargo, se garantiza la convergencia si f(a) y f(b) tienen distinto signo. Si existieran más de una raíz en el intervalo entonces el método sigue siendo convergente pero no resulta tan fácil caracterizar hacia qué raíz converge el método.

Unas cuantas iteraciones del método de bisecciónaplicadas en un intervalo [a1;b1]. El punto rojo es la raíz de la función. METODO DE NEWTON.

El método de Newton es un método abierto, en el sentido de que su convergencia global no está garantizada. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de lanaturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Una vez se ha hecho esto, el método linealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen de dicha recta será,según el método, una mejor aproximación de la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el método haya convergido lo suficiente.

METODOS NUMERICOS. PRACTICA 1 Sea f : [a, b] → R función derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x0 y definimos para cada número natural n

Donde f ‘denota la derivada de f. Nótese que el método...