Certamen1_pauta

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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
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FACULTAD DE CIENCIAS F´ISICAS Y MATEMATICAS
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DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA

´n I
Pauta Evaluacio
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Algebra I (525147)
1. Determine:
1.1) El conjunto de n´
umeros complejos A = {z : Re((1 + i)z) = 0}
Soluci´on:
A = {z
A = {z
A = {z
A = {z

: Re((1 + i)(x + iy) = 0}
: Re(x + iy + ix − y) = 0}
: x − y = 0}
: x = y}
[5 puntos]

z = x + yi = x + xi
√
√
√
√
|z|= x2 + x2 = 2x2 = 2|x| = 2|Re(z)|
[2 puntos]
4

1.2) Los n´
umeros complejos z tales que z − 1 + i = 0
Soluci´on:
z4 − 1 + i = 0
⇔ z4 = 1 − i
√
⇔z = 41−i
√
como 1 − i= 2cis(− π4 ) se tiene que
√
z = 4 2cis(− π4 ), ra´ıces cuartas de 1 − i.
[4 puntos]
Las ra´ıces cuartas de 1 − i estan dadas por
√ 1
− π +2kπ
, k = 0, 1, 2, 3 con:
wk = ( 2) 4 cis 4 4
1

π
w0 = 2 8 cis − 16
1

7π
16

1

15π
16

123π
16

w1 = 2 8 cis
w2 = 2 8 cis
w3 = 2 8 cis

[4 puntos]
1.3)
√
6 3 + 6i
6 + 6i

−3

√
√
2cis( π4 ) 3
π
6(1 + i) 3
2
√
=
=
cis( )
=
π
2cis( 6 )
2
12
6( 3 + i)
√
√ √
√
(2 2)
π
1 1
2 2
2
=
cis( ) =
(
+
i) = ( + i)
8
4
4 2
2
4 4

3

√
=

2
2

3

π
cis( )
4

[5 puntos]

2. Para p(x) = x4 +α x3 −3x2 −7x+β determine α y β tales que p(x)−8 sea divisible
por x + 1 y p(x) sea divisible por x − 1. Adem´asencuentre la descomposici´on de
p(x) en factores irreducibles en P(R).
Soluci´on:
si p(x) − 8 es divisible por x + 1, entonces p(−1) − 8 = 0, es decir
p(−1) − 8 = (−1)4 + α (−1)3 − 3(−1)2 − 7(−1) + β − 8 = 0.
⇒ 1 − α − 3 + 7 + β − 8 = 0.
⇒ −α + β = 3.
si p(x) es divisible por x − 1 entonces p(1) = 0, esto es
p(1) = (1)4 + α (1)3 − 3(1)2 − 7(1) + β = 0
⇒1+α −3−7+β =0
⇒α+β =9
se tiene el sistema
−α +β = 3.
α + β = 9.
⇒ 2β = 12 ⇒ β = 6
⇒α=3
[5 puntos]
4

3

2

Luego p(x) = x + 3 x − 3x − 7x + 6
Sabemos que 1 es ra´ız de p(x), dividimos por (x − 1)
1
1
1

3
1
4

-3
4
1

-7 6
1 -6
-6 0

x−1

se tiene p(x) = (x − 1)(x3 + 4x2 + x − 6)
1 tambi´en es ra´ız de x3 + 4x2 + x − 6, lo dividimos por (x − 1)
1
1
1

4
1
5

1
5
6

-6
6
0

x−1

As´ı p(x) = (x − 1)2 (x2 + 5x + 6) = (x − 1)2 (x + 3)(x + 2)
[5puntos]

3. Descomponer el polinomio q(x) = x3 − 3x2 + 7x − 5 en producto de factores
5x2 − 3x + 6
irreducibles en P (R) y escribir la expresi´on f (x) =
en suma de
q(x)
fracciones parciales.
Soluci´on:
q(1) = 0, luego 1 es ra´ız de q(x) ⇒ q(x) = (x − 1)(x2 − 2x + 5)
las ra´ıces de (x2 − 2x + 5) son 1 + 4i y 1 − 4i, luego la descomposici´on de q(x) en
factores irreducibles en P(R) es q(x) = (x −1)(x2 − 2x + 5).
[5 puntos]
Ahora,
f (x) =

5x2 − 3x + 6
5x2 − 3x + 6
A
Bx + C
=
=
+
q(x)
(x − 1)(x2 − 2x + 5)
(x − 1) (x2 − 2x + 5)

⇒ 5x2 − 3x + 6 = (Bx + C)(x − 1) + A(x2 − 2x + 5)
⇒ 5x2 − 3x + 6 = Bx2 − Bx + Cx − C + Ax2 − 2Ax + 5A
⇒ 5x2 − 3x + 6 = x2 (B + A) + x(−B + C − 2A) − C + 5A
luego se tiene el sistema
B+A=5
−B + C − 2A = −3
−C + 5A = 6 , cuya soluci´on es:

[5 puntos]

C = 5A − 6, dela segunda ecuaci´on se tiene −B + 5A − 6 − 2A = −3
⇒ −B + 3A = 3
y queda el sistema de 2 × 2
B+A=5
−B + 3A = 3
⇒ A = 2, B = 3, C = 4
As´ı
f (x) =

3x + 4
2
+ 2
(x − 1) (x − 2x + 5)
[5 puntos]

4. Para
las matrices 
2
a 5

A= −2 4 b 
c −2 3




1 2 2
B=2 1 2
2 2 1




1 2 3
C=4 5 6
7 8 9

4.1) Encuentre los valores de a, b y c para que A sea sim´etrica.
Soluci´on:
A = At ⇔ a = −2, b =−2, c = 5
[3 puntos]
4.2) Demuestre que B 2 −4B −5I = θ y deduzca de este resultado la matriz inversa
de B.
Soluci´on:



1 2
B 2 = BB = 2 1
2 2

9
2

B − 4B − 5I= 8
8

9
=8
8


 

2
1 2 2
9 8 8
2 2 1 2= 8 9 8
1
2 2 1
8 8 9
 
 

8 8
1 2 2
1 0 0
9 8-4 2 1 2-50 1 0
8 9
2 2 1
0 0 1
 
 
 

8 8
−4 −8 −8
−5 0
0
0 0 0
9 8+−8 −4 −8+ 0 −5 0  =0 0 0
8 9
−8 −8 −4
0
0−5
0 0 0

B 2 − 4B − 5I = θ
⇒ B 2 − 4B = 5I
⇒ B(B − 4I) = 5I
1
⇒ B(B − 4I) = I
5
1
⇒ B( (B − 4I)) = I
5

⇒ B −1




3 2
2

 − 5 5
5 


−3 2
2


2
2
3
1
1

−
2 −3 2  =
= (B − 4I)=
 5

5
5
5
5


2
2 −3
2
3
 2
−
5
5
5

[6 puntos]

4.3) Escribir C como suma entre una matriz sim´etrica y una matriz antisim´etrica.
Soluci´on:






2 6 10
0 −2 −4
1
1
1
1
C = (C + C t ) + (C −...