ciego

2.3 Teoría del Método Simplex.
El método gráfico descrito anteriormente implica que el conjunto de soluciones están dadas dentro del área de soluciones factibles, mediante los puntos extremos. Este resultado es la idea clave del método simplex.
El método simplex inicia en el punto extremo que es el origen, conforme se va desarrollando, se va moviendo de un punto extremo a otro hastaconseguir el óptimo. Para esto es necesario que cada una de las restricciones se presenten como ecuaciones; el método simplex con el fin de convertir las ecuaciones es necesario involucrar variables de holgura ó superávit.

Conceptos básicos:
Solución básica: Se determina haciendo n-m variables iguales a cero y luego resolviendo las m ecuaciones con las restantes m variables.
Variable no básica:Se refiere a las (n-m) variables que se hacen igual a cero.
Variable básica: Son las variables restantes diferentes de cero.
Variable básica factible: Si todos los valores de la solución son no negativos (caso contrario será infactible, no existe región de factibilidad).
Variable de holgura: Representa la cantidad que el lado derecho de la restricción excede a la actividad, es decir,cantidad no utilizada del recurso. (Restricciones de )
Variable de superávit: Se usan en restricciones de ≥ e indica el exceso que tenemos en base al recurso.

Propiedades de un modelo simplex1.
1.- Todas las restricciones (con excepción de las restricciones de no negatividad sobre las variables) son ecuaciones con un lado derecho no negativo.
2.- Todas las variables son no negativas.
3.- Lafunción objetivo puede ser de maximizar o minimizar.
Ejemplos para convertir restricciones a ecuaciones.
Suponga la siguiente restricción de

En este caso se agrega una variable de holgura de la forma:

donde la variable

Suponga la siguiente restricción de

En este caso se agrega una variable de superávit de la forma:
donde la variable

2.3.1 Forma Tabular del MétodoSimplex .

La forma de representar un modelo de programación lineal es:
Maximizar o minimizar
 Sujeto a: Un modelo de programación lineal se define usualmente como sigue:



.
.
.

Condicion de no negatividad
Donde:




En el caso de expresar elmodelo anterior en una tabla para un método simplex se muestra a continuación:









El modelo simplex de programación lineal utiliza variables de entrada y salida, que se conocen como condiciones de optimalidad y de factibilidad2.
Condición de optimalidad: La variable de entrada en un problema de maximización es la variable no básica que tiene elcoeficiente más negativo en el renglón Z. La variable de entrada en un problema de minimización es la variable no básica que tiene el coeficiente más positivo en el renglón Z. Los empates se rompen arbitrariamente. La solución óptima se llega cuando en el renglón Z todos sus coeficientes ceros o positivos; ceros y negativos cuando es minimizar.
Condición de factibilidad: tanto para los problemas demaximización como de minimización, la variable de salida es la variable básica con la división no negativa más pequeña. Los empates se rompen arbitrariamente.
Pasos del método simplex.
1. Usando la forma estándar (con los segundos miembros no negativos), se determina una solución básica factible.
2. Seleccione una variable entrante entre las variables actuales no básicas, usando la condiciónde optimidad (si no hay una variable de entrada deténgase).

3. Seleccione la variable saliente entre las variables actuales básicas, usando la condición de factibilidad.
4. Determínese los valores de las nuevas variables básicas, haciendo a la variable entrante básica y a la variable saliente no básica.
5. Si la solución es óptima pare. En caso contrario regresar al paso 2.
Ejemplo...