Cienciass

Tema 4 Medidas de dispersi´n o
Contenido
4.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.2. Medidas de dispersi´n absolutas . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.3. Medidas de dispersi´n relativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1 1 3

4.1.

Introducci´n o

Las medidas de dispersi´n est´n encaminadas a cuantificar lo pr´ximos o o a o alejados queest´n los datos de la muestra de un punto central. a Estas medidas indicar´n por un lado el grado de variabilidad que hay en a la muestra y, por otro, la representatividad de dicho punto central, ya que si se obtiene un valor peque˜ o, eso significar´ que los valores se concentran entorno n a a ese centro (por lo que habr´ poca variabilidad y el centro representar´ bien a a a todos). En cambio, sise obtiene un valor grande, significar´ que los valores no est´n a a concentrados, sino dispersos (por lo que habr´ mucha variabilidad y el centro no a ser´ muy representativo). a

4.2.

Medidas de dispersi´n absolutas o

Se tomar´ como punto central de referencia la media aritm´tica, aunque de a e forma an´loga podr´ utilizarse la mediana (posteriormente, se introducir´n algunas a ıa amedidas de dispersi´n relacionadas con la mediana, ver Tema 7). o 1

Tema 4. Medidas de dispersi´n o

Medidas de dispersi´n absolutas o

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En primer lugar se buscar´ una forma de medir la dispersi´n en t´rminos a o e absolutos (i.e., dependiendo de las unidades en las que se mida la variable). Matem´ticamente la distancia de un valor a otro es la diferencia entre esos a valores sin signo, esdecir, en valor absoluto. Sin embargo, el valor absoluto tiene muy malas propiedades matem´ticas. En cambio, si se elevan las distancias al cuadrado, a tambi´n “se quita” el signo y eso s´ que tiene buenas propiedades matem´ticas. e ı a As´ surge la varianza, que sirve igualmente para medir la dispersi´n conjunta en ı o torno a la media, pero es m´s operativa. a El resultado se mide en unidades alcuadrado y es dif´ de interpretar,por lo ıcil que lo habitual es calcular su ra´ cuadrada (y surge as´ lo que se llama desviaci´n ız ı o t´ ıpica). o ıpica en general, Matem´ticamente, para calcular la varianza y la desviaci´n t´ a 2 que se denotan respectivamente Sx y Sx , se puede operar como sigue a partir de la tabla de frecuencias de las distancias al cuadrado: Distancias2 (x1 − x)2 . . . (xk− x)2 Total ni n1 . . . nk N
i=1

Distancias2 × ni (x1 − x)2 × n1 . . . (xk − x)2 × nk
k

(xi − x)2 ni

La varianza es la media de las distancias al cuadrado y la desviaci´n es su ra´ o ız, es decir:
k

2 Sx =

suma de todas las distancias = n´ mero de individuos u

2

i=1

(xi − x)2 ni N

.

Sx =

2 Sx .

Puede comprobarse que la varianza se puede calcularalternativamente como la media de los valores de la variable al cuadrado menos la media al cuadrado de la 2 variable, es decir, Sx = x2 − x2 . Esta segunda f´rmula suele resultar m´s c´moda a o a o la hora de hacer los c´lculos. a Problemas propuestos: Problemas 4.1 y 4.2.
A. Colubi, A. Lubiano, P. Ter´n a Estad´ ıstica Administrativa I (GAP-Oviedo)

Tema 4. Medidas de dispersi´n o

Medidas dedispersi´n relativas o

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4.3.

Medidas de dispersi´n relativas o

A la hora de establecer comparaciones no es aconsejable manejar magnitudes absolutas, ya que las unidades no son siempre comparables. Cuando se pretende comparar la dispersi´n de variables medidas en distintas unidades o variables con o distinto orden de magnitud, es necesario relativizar. Una forma de relativizar es considerar ladispersi´n en relaci´n al valor absoluto o o de la media, consiguiendo as´ el coeficiente de variaci´n, que suele ser interpretado ı o en t´rminos de proporci´n o porcentaje: e o CVx = Sx . |x|

El coeficiente de variaci´n se suele utilizar con variables que toman valores o positivos (precios, rentas, etc.) y cuya media no est´ pr´xima al 0, ya que en caso a o contrario al dividir por un valor...