cientificos

Fundamentos de los Computadores. Álgebra de Boole.

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3. ÁLGEBRA DE BOOLE
Un sistema de elementos B y dos operaciones binarias cerradas (·) y (+) se
denomina ALGEBRA de BOOLE siempre y cuando se cumplan las
siguientes propiedades:
1.- Propiedad conmutativa:
A+B=B+A
A·B=B·A
2. Propiedad distributiva:
A·(B+C) = A·B + A·C
A + B·C = (A+B)·(A+C)
3. Elementos neutros diferentes
A+0=AA·1=A
4. Siempre existe el complemento de A, denominado A’
A + A’ = 1
A · A’ = 0
PRINCIPIO DE DUALIDAD: cualquier teorema o identidad algebraica
deducible de los postulados anteriores puede transformarse en un segundo
teorema o identidad válida sin mas que intercambiar (+) por (·) y 1 por 0.
CONSTANTE: cualquier elemento del conjunto B
VARIABLE: símbolo que representa un elemento arbitrariodel álgebra, ya
sea constante o fórmula completa.
TEOREMAS:
Teorema 1: el elemento complemento A’ es único.
Teorema de los elementos nulos: para cada elemento de B se verifica:
A+1 = 1
A·0 = 0
Teorema 3: cada elemento identidad es el complemento del otro.
0’=1
1’=0

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Teorema de idempotencia: para cada elemento de B, se verifica:A+A=A
A·A=A
Teorema de involución: para cada elemento de B, se verifica:
(A’)’ = A
Teorema de absorción: para cada par de elementos de B, se verifica:
A+A·B=A
A·(A+B)=A
Teorema 7: para cada par de elementos de B, se verifica:
A + A’·B = A + B
A · (A’ + B) = A · B
LEYES DE DEMORGAN: para cada par de elementos de B, se verifica:
(A+B)’ = A’·B’
(A·B)’ = A’ + B’
Teorema deasociatividad: cada uno de los operadores binarios (+) y (·) cumple
la propiedad asociativa:
A+(B+C) = (A+B)+C
A·(B·C) = (A·B)·C
ÁLGEBRA DE CONMUTACIÓN
UN ÁLGEBRA DE BOOLE ES UN SISTEMA DE ELEMENTOS B={0,1} Y
LOS OPERADORES DEFINIDOS DE LA SIGUIENTE FORMA
A
0
0
1
1

B
0
1
0
1

A+B
0
1
1
1

A·B
0
0
0
1

OPERADOR +
OPERADOR ·
OPERADOR ‘

A
0
1

OPERADOR OR
OPERADOR ANDOPERADOR NOT

A’
1
0

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FUNCIONES EN EL ÁLGEBRA DE BOOLE
Función completa es una función que se encuentra definida para todas las
combinaciones de las variables de entrada.
Tabla de VERDAD: forma de representación de funciones, dando el valor de la
función para cada combinación de entrada.
X1

X2

X3

F(X1, X2, X3)

0

00

F(0,0,0)

0

0

1

F(0,0,1)

0

1

0

F(0,1,0)

0

1

1

F(0,1,1)

1

0

0

F(1,0,0)

1

0

1

F(1,0,1)

1

1

0

F(1,1,0)

1

1

1

F(1,1,1)

Fórmulas de conmutación: expresión de una función
1 y 0 son fórmulas
Xi es una fórmula si pertenece a {0,1}
Si A es una fórmula, A’ también lo es
Si A y B son fórmulas, A+B y A·B tambiénlo son
Nada más es una fórmula, a menos que sigan los puntos anteriores un
número finito de pasos.
Cada fórmula describe una única función.
Dos fórmulas son equivalentes (A=B) si expresan la misma función de
conmutación.
Un LITERAL es una variable A o complemento de una variable A’
Un TÉRMINO PRODUCTO es una operación AND de un número de
literales.
Una fórmula normal disyuntiva es unasuma de términos productos.
Un TÉRMINO SUMA es una operación OR de un número de literales.
Una fórmula normal conjuntiva es un producto de términos sumas.

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EXPRTESIÓN EN SUMA DE PRODUCTOS
MINTÉRMINO (mi): término producto en el que aparecen todas las
variables, ya sean complementadas o sin complementar.
Fórmula Canónica Disyuntiva ode Mintérminos: suma de mintérminos.
Dada la lista completa de mintérminos y asignando 1’s y 0’s
arbitrariamente a las variables, siempre hay un, y sólo un, mintérmino que
toma el valor 1.
Un mintérmino es un término producto que es 1 exactamente en una línea
de la tabla de Verdad.
La fórmula compuesta por todos los mintérminos será idénticamente 1.
Cada fórmula de conmutación puede...