Cientificos

Universidad del Atlantico Departamento de Matem´ticas y Estad´ a ıstica Ejercicios de practica 1. Sea f : R2 −→ R una funci´n definida por o  (x2 + y 2 ) sin f (x, y)=  0 √
1 x2 +y 2

(x, y) =0R2 (x, y) = 0R2 .

(a) Probar que f es diferenciable en 0R2 . (b) ¿ D1 f y D2 f son continuas en 0R2 ? 2. Sea f : R2 −→ R una funci´n tq D2 f (x, y) = 0 para cada (x, y) ∈ R2 . o Pruebe que f esindependiente de la segunda variable i.e f (x, a) = f (x, b), para cada a, b ∈ R 3. Sean g1 , g2 : R2 −→ R continuas. Se define
x y

f (x, y) =
0

g1 (t, 0)dt +
0

g2 (x, t)dt

(a) Probadirectamente de la definici´n que D2 f (x, y) = g2 (x, y) o (b) ¿ Como habr´ de definirse f de tal manera que D1 f (x, y) = a g1 (x, y)? 4. Demostrar que la aplicaci´n · : Rn −→ R (Norma Euclidiana) es o n −{0 n }, y calcular su diferencial. diferenciable en R R 5. Hallar los puntos de la superficie z = 4x + 2y − x2 + xy − y 2 en los que el plano tangente es paralelo al plano xy 6. Sea f : Rn → R un campoescalar tal que |f (x)| ≤ M x 2 , ∀x ∈ Rn . Demuestre que f es diferenciable en el origen. Aplicar este resultado a la funci´n f : R2 → R o

1

 1 1 2x2 cos( x ) + 3y 2 sin( x )  1 f (x, y)=3x2 sin( x )   2 1 3y cos( y )

si x = 0, y = 0 si x = 0, y = 0 si x = 0, y = 0

7. Determinar los valores de a, b, c para que la derivada direccional de f (x, y, z) = axy 2 + byz + cz 2 x3tenga en (1, 2, −1) un valor m´ximo de a 64 en la direcci´n del eje z o 8. Sea f : R3 −→ R2 y g : R2 −→ R2 funciones definidas por f (x, y, z) = sin(xy + z), (1 + x2 )yz y g(x, y) = (x + ey , y + ex ).Calcular D(g ◦ f )(1, −1, 1) 9. Sea f : Rn −→ R una funci´n. Se dice que f es homog´nea de grado o e m f (x) para cada t > 0 y x ∈ Rn . m si f (tx) = t Pruebe que si f es diferenciable y homog´nea degrado m entonces e
n

xi Di f (x) = mf (x)
i=1

10. Sea A ⊂ Rn abierto y f : A −→ R una funci´n. Demostrar que f es o diferenciable en a ∈ A si, y s´lo si, existe una funci´n g : A −→ Rn o o...