Cigueñal

CINEMÁTICA Y DINÁMICA DEL MOTOR

CINEMÁTICA DEL MOTOR Como ha sido expuesto, el movimiento del pistón se transforma en movimiento circular del cigüeñal gracias a un sistema biela - manivela.

Se puede obtener observando la figura anterior que:

x = r • (1 − cosα ) + l • (1 − cos β )
En la expresión anterior el desplazamiento del pistón x se expresa en función de α y de β, por lo que paracalcularlo sólo en función del ángulo girado por el cigüeñal, es necesario proceder como se presenta a continuación: Por tener un lado común los triángulos cuya hipotenusas son la biela y la muñequilla de cigüeñal, se puede establecer que:

r • senα = l • sen β ⇒ sen β =
Figura 1.- Sistema biela - manivela.

r • senα l

Para determinar la velocidad y la aceleración del pistón es necesariodeterminar en primer lugar la ecuación de posición del pistón en función del ángulo girado por el cigüeñal.
x c l

llamando λ a la relación entre la longitud de la manivela y la de la biela, que en los motores actuales es del orden de 0.33, se tiene que:

λ = ⇒ senβ = λ • senα ⇒ β = arcsen(λ • senα )
De la expresión anterior se obtiene β para cada posición α de la manivela. Como:
cos β = 1− sen2 β ,

r l

sustituyendo

β α r

sen β por su valor en función de α, se tiene que:

cos β = 1 − λ2 • sen2 α
Sustituyendo este valor se tiene la expresión del desplazamiento del pistón en función del ángulo girado por la manivela, cuya ecuación es la que se presenta a continuación:
x = r • (1 − cos α ) + l •  1 − 1 − λ2 • sen2 α     

Figura 2.- Esquema básico debiela-manivela.

Para ello si: l: longitud de la biela. r: radio de la manivela. C: carrera del pistón. x: posición del pistón referida al punto muerto superior. α: ángulo girado por el cigüeñal contado desde el punto muerto superior. β: Ángulo que forma la biela con el eje del cilindro.

La representación gráfica de la ecuación anterior en unos ejes cartesianos en los que en abscisas se tome elángulo girado por el cigüeñal y en ordenadas el valor del desplazamiento angular del pistón, ofrece una gráfica como la que se presenta a continuación:

31

80 70 60 50 40 30 20 10 0 0º 20º 40º

ω=

dα dt

Por lo que se puede expresar que:

60º

80º

100º

120º

Ángulo de la manivela

140º

 1 λ2 ·2·sen α·cos α  ·ω V = r · sen α + ·  λ 2· 1 − λ2 ·sen2 α   
160º 180ºFigura 3.- Diagrama de desplazamiento del pistón.

De la observación del diagrama anterior se desprende que para un movimiento angular de la manivela α = 90º , el pistón recorre una longitud mayor que la mitad de la carrera. Esto significa que, si la velocidad de giro del cigüeñal es constante, para recorrer la primera mitad de la carrera el motor emplea un tiempo menor que para recorrer lasegunda mitad. Se puede demostrar analíticamente que, en el instante que el pistón recorre la mitad de la carrera, la biela y la manivela están formando noventa grados. La velocidad se calcula mediante la expresión:

Expresión en la que la velocidad angular del motor ω se expresa en rad/s. Como r es mucho más pequeño que l y como sen 2 tiene como valor máximo la unidad es posible, sin cometergran error, despreciar el

α

término
2

λ2 • sen2 α ,
2

por lo que la expresión

1 − λ • sen α puede considerarse que tiende a 1. Por tanto, la velocidad del pistón puede calcularse mucho más fácilmente, de forma aproximada, mediante la expresión:

V = ω • r • (senα + λ • senα • cosα)
Como:
sen α • cos α = sen 2α 2

V = dx / dt
es decir, hallando la derivada del espacio conrespecto al tiempo. La expresión hallada anteriormente:
x = r • (1 − cos α ) + l •  1 − 1 − λ2 • sen2 α     

se puede expresar la velocidad mediante la ecuación:

λ   V = ω • r •  sen α + • sen 2α  2  
Si en unos ejes cartesianos en los que se toman en abscisas el ángulo girado por el cigüeñal y en ordenadas la velocidad del pistón la representación gráfica de la expresión no...