Cinematica de mecanismos

Diseño de Mecanismos IME UIA

APUNTES DE Diseño de Mecanismos CAPÍTULO 2 ANÁLISIS DE MECANISMOS

Cuitlahuac Osornio Correa

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OBJETIVO: Al final del tema el alumno será capaz de determinar con exactitud las condiciones cinemáticas de un mecanismo como desplazamiento, velocidad y aceleración instantáneas de cualquiera de sus eslabones teniendo comodatos sus dimensiones y la variable o variables de entrada.

CONTENIDO: 2.1 Conceptos básicos. 2.1.1 Desplazamiento. 2.1.2 Velocidad. 2.1.3 Velocidad aparente 2.1.4 Aceleración. 2.1.5 Aceleración aparente. 2.2 Ecuación de Freudenstein. Vectores en el plano complejo. 2.3 Método vectorial (Uso de los vectores en el plano cartesiano). 2.4 Método gráfico (vectores en el plano cartesiano). 2.5Métodos numéricos para la determinación de las condiciones cinemáticas de los mecanismos.

Cuitlahuac Osornio Correa

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FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS Para el estudio cinemático de los mecanismos es usual asignarle un vector de posición a cada eslabón. Estos vectores pertenecen al plano cartesiano o al plano complejo. Según el tipo de eslabón de que se trate, se lepuede asignar un vector de magnitud y dirección variable o sólo magnitud o sólo dirección variable. 2.1 Vectores asociados a eslabones de magnitud constante. 2.1.1 Vectores pertenecientes al plano complejo.
Eslabón 3 Eslabó 4

Eslabón 2 Eslabón de tierra

Figura 2.1.1 Consideremos al vector R asociado al eslabón 2 del mecanismo de la fig. 2.1.1, el cual definimos para la posición como: R =Re iψ 2.1.1.1

Donde R es el vector de posición, R la magnitud y eiψ su dirección. Derivándolo podemos obtener su velocidad.   R = Reiψ + i Reiψ ψ el cual por ser de magnitud constante se reduce a:  R = iRψ e iψ considerando que ψ = ω 2 se tiene.  R = iω 2 Re iψ 2.1.1.4
. . .

2.1.1.2

2.1.1.3

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 donde R = V A ,ω 2 R es la magnitud y e iψ i es la dirección, considerando que iψ 2.1.1.5 e = cosψ + i sen 0 .
ie iψ = i cosψ − senψ Derivando la ecuación 2.1.4 obtenemos la aceleración de A: aA.
d 2  R = a A = [(iR )ω 2 e iψ ] = iRω 2 e iψ + i 2 Rω 2 e iψ  dt

2.1.1.6

2.1.1.7

simplificando
2  R = a A = iRω 2 e iψ − Rω 2 e iψ 

2.1.1.8

En la ecuación 2.1.1.8 al primer componente del ladoderecho se le llama aceleración tangencial y es perpendicular al vector de posición y al segundo componente se le conoce como aceleración radial o normal y es paralela al vector de posición. 2.1.2 vectores en el plano cartesiano.
r

Aquí el vector de posición se define como
er ˆ

r = rer ˆ
 Velocidad: r = rer + rer  ˆ ˆ

2.1.2.1 2.1.2.2 2.1.2.3

o

 en que er = ϖxer ˆ ˆsustituyendo 2.1.2.3 en 2.1.2.2 se tiene.

r = V A = r (ϖxer )  ˆ
Para la aceleración se tiene:

2.1.2.4

 r  = a A = r[(ϖxer ) + (ϖxer )] ˆ  ˆ
simplificando.

2.1.2.5

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r  = a A = r (ϖxer ) + rϖx(ϖxer )  ˆ ˆ

2.1.2.6

el primer componente es la aceleración tangencial y el segundo es la aceleración radial. 2.2.1Vectores asociados a eslabones de magnitud y dirección variable.
R A Figura 2.2.1

En la fig. 2.2.1 se ve una parte de un mecanismo que ilustra el caso del vector de magnitud y dirección variable. La posición del punto A de la corredera 3 se establece con el vector
R = Re i 0

2.2.1

Derivando se obtiene la velocidad VA.    R = V A = Re i 0 + iR 0e i 0 2.2.2.1

 en que 0 = ω 2 ,entonces
 V A = Re i 0 + iRω 2 e i 0 Derivando se obtiene la aceleración aA.
2     a A = Re i 0 + Ri 0e i 0 + iRω 2 e i 0 + iRω 2 e i 0 + i 2 Rω 2 e i 0 

2.2.2.2

2.2.3.1

simplificando:   a A = Re i 0 + 2 Rϖ 2 ie i 0 + iRϖ 2 e i 0 − Rω 2 e i 0  en la ecuación 2.2.3.2 se tiene:
_

2.2.3.2

aA :

aceleración absoluta del punto A. componente de aceleración translacional...