cinematica

Cap´tulo 4
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´
CINEMATICA
4.1. Introducci´ n
o
La cinem´ tica es la parte de la mec´ nica que estudia el movimiento de los cuerpos, sin
a
a
atender a las causas que lo producen. De otra forma diremos que estudia la evoluci´ n de la
o
posici´ n de los cuerpos en el espacio en relaci´ n con el tiempo.
o
o
Para definir la posici´ n de los cuerpos en el espacio ser´ necesaria laintroducci´ n de una
o
a
o
referencia, la cual estar´ constituida por un punto 0 y una base vectorial de dicho espacio.
a
As´ una referencia cartesiana estar´ formada por (0, i, j, k), en donde 0 es un punto tomado
ı
a
arbitrariamente como origen, e i, j y k son los versores de Hamilton.
El espacio que es objeto de nuestra atenci´ n es el espacio puntual o eucl´deo.
o
ı
Cada punto del mismovendr´ biunivocamente ligado a un vector de posici´ n r que poa
o
dr´ ser expresado en la referencia elegida.
a
En cuanto al tiempo nos referimos al tiempo newtoniano o absoluto.
Una dificultad que se plantea es la congruencia del tiempo en sistemas referenciales distintos. Ello es objeto de estudio en la cinem´ tica relativista y no de la cl´ sica, que es la que
a
a
ser´ aqu´ tratada.
a
ı91

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CAPITULO 4. CINEMATICA

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4.2. Cinem´ tica del punto
a
4.2.1. Cinem´ tica del punto en coordenadas cartesianas
a
−
→
Sea un punto P que est´ efectuando un movimiento en el espacio eucl´deo, y sea r = 0P
a
ı
el vector de posici´ n del mismo, el cual tiene su origen en el punto 0, origen del sistema
o
referencial y su extremo en el punto P .
Dado que el punto P seest´ moviendo, el vector de posici´ n ser´ variable en funci´ n del
a
o
a
o
tiempo, lo cual podr´ expresarse como:
a
r = r(t)
Expresi´ n que podr´ denominarse ley vectorial del movimiento.
o
a
Esta expresi´ n vectorial podr´ ser descompuesta en tres expresiones escalares:
o
a
r = x i + y j + z k = r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k
Y por tanto:


x = x(t) 

y = y(t)

z =z(t) 

Ecuaciones que nos permiten determinar la posici´ n del punto en un instante cualquiera
o
por medio de sus tres coordenadas cartesianas. Por ello diremos que estas tres ecuaciones
son la expresi´ n param´ trica de la trayectoria en funci´ n del par´ metro escalar tiempo.
o
e
o
a
Para determinar la ecuaci´ n anal´tica de la trayectoria bastar´a eliminar el escalar tiempo
o
ı
ıentre ellas lo que dar´a lugar a dos ecuaciones en coordenadas cartesianas:
ı
f1 (x, y, z) = 0
f2 (x, y, z) = 0
Las cuales representan evidentemente una l´nea, la trayectoria, definida como intersecci´ n
ı
o
de dos superficies.
Definimos la velocidad de la part´cula P como la derivada del vector de posici´ n con resı
o
pecto del tiempo:
v=

dr
dt

En general el vector velocidad ser´tambi´ n una funci´ n del tiempo:
a
e
o
v = v(t)

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CAPITULO 4. CINEMATICA

93

Esta expresi´ n vectorial podr´ ser descompuesta en tres expresiones escalares:
o
a
v = vx i + vy j + vz k = v(t) = vx (t) i + vy (t) j + vz (t) k
vx = vx (t) = dx = x
˙
dt












vy = vy (t) = dy = y 
˙
dt









vz = vz (t) = dz = z
˙
dt
Definimosla hod´ grafa del movimiento como el lugar geom´ trico de los puntos que sucesio
e
vamente ocupa el extremo del vector velocidad trasladado este en forma equipolente al origen
´
de referencia. Sus ecuaciones anal´ticas las obtendremos eliminando el par´ metro tiempo en:
ı
a
x = vx (t)
y = vy (t)
z = vz (t)







Definimos la aceleraci´ n como la derivada del vector velocidadcon respecto del tiempo,
o
lo que equivale a la derivada segunda del vector de posici´ n:
o
a=

d2 r
dv
= 2
dt
dt

En general tambi´ n ser´ una funci´ n vectorial del tiempo:
e
a
o
a = a(t)
Y que como en los casos anteriores admitir´ una descomposici´ n en tres ecuaciones escalaa
o
res:
a = ax i + ay j + az k = a(t) = ax (t) i + ay (t) j + az (t) k


ax = ax (t) = vx = x...