circuito RC y RLC estado transitorio

Cap´ıtulo 8
CIRCUITOS RC Y RLC:
estado transitorio

8.1

´
INTRODUCCION

En todas las pr´acticas que hemos venido realizando hemos supuesto siempre
que en cada elemento de un circuito hay una diferencia de potencial y una
corriente, directa o alterna seg´
un sea el caso, ya establecidas, originadas por
fuentes de tensi´on que ya estaban conectadas.
Sin embargo, podemos preguntarnos:¿qu´e ocurre cuando conectamos el
circuito a una fuente de tensi´on, o simplemente cuando pasamos el interruptor?. ¿Qu´e tiempo es necesario para establecer en cada elemento una diferencia
de potencial y una corriente?. O tambi´en, ¿qu´e ocurre al desconectar la fuente
de tensi´on o al abrir el interruptor?. ¿En qu´e tiempo se hacen cero las diferencias de potencial y las corrientes en cadaelemento?.
Este r´egimen de transici´on a partir de un estado inicial con potencial y corriente cero, o hacia un estado final con potencial y corriente cero, es conocido
como estado transitorio, y se distingue del estado estacionario, donde la
diferencia de potencial y la corriente poseen valores eficaces claramente establecidos.
En esta pr´actica haremos un estudio del r´egimen transitorio decircuitos
RL, RC y RLC, usando una fuente de tensi´on constante (DC), la cual ser´a conectada o desconectada del circuito mediante un interruptor.
151

El an´alisis del r´egimen transitorio es b´asicamente un problema matem´atico de resoluci´on de ecuaciones diferenciales lineales sencillas: de primer
orden o de segundo orden (donde el orden corresponde a la mayor derivada) y
con coeficientesconstantes.

8.2

´ DIFERENCIAL LINEAL DE
ECUACION
PRIMER ORDEN

Consideremos una ecuaci´on diferencial lineal de primer orden, y coeficientes
constantes:
dx
a1
+ a0 x = b
dt
donde x es la variable dependiente, t la variable independiente y b una constante.
Si definimos una nueva variable
ζ ≡x−

b
a0

entonces dζ = dx y podemos escribir:
a1

dζ
+ a0 ζ = 0
dt

ecuaci´onque es llamada homog´
enea por ser igual a cero.
Esta ecuaci´on homog´enea, puesta en la forma:
dζ
a0
= − dt
ζ
a1
es r´apidamente integrable para dar:
lnζ = −

a0
t+k
a1

donde k es la constante de integraci´
on. Tomando antilogaritmo:
a

(− a0 t) k
1

ζ=e

152

e

y sustituyendo la definici´on de ζ resulta:
x=

a
b
− 0t
+ ek e a1
a0

La constante deintegraci´on la podemos determinar conociendo la condici´
on
inicial del problema para t = 0:
x(0) ≡ x(t = 0) =

b
+ ek
a0

Luego la soluci´on de la ecuaci´on diferencial queda finalmente como:
x=

[
b
b ] (− aa0 t)
+ x(0) −
e 1
a0
a0

Podemos observar que hay dos casos particulares de inter´es:
i. Cuando x(0) = 0, entonces:
x=

]
a
b[
(− 0 t)
1 − e a1
a0

ii. Cuando b = 0,entonces:

a

x = x(0)e

8.3

(− a0 t)
1

CIRCUITO RL

Si observamos el circuito mostrado en la figura, vemos que la corriente establecida es simplemente I = ε/R

R
I
+

L

donde ya sabemos que la inductancia
se comporta como un cortocircuito ante DC. Para el estudio del r´egimen
transitorio agregamos un interruptor,
el cual cerraremos o abriremos seg´
un
sea el caso.

-

ε153

ESTABLECIMIENTO DE UNA CORRIENTE
CONSTANTE

8.3.1

En el circuito mostrado no hay corriente inicialmente.

R

2

I

L

1

+

Al pasar el interruptor de la posici´on
2 a la posici´on 1 en t = 0, comienza a
circular una corriente que va a crecer
desde el valor inicial cero hasta el valor final ε/R. La ecuaci´on del circuito
es:

-

ε

ε=L

dI
+ RI
dt

quees una ecuaci´on similar a la tratada en la secci´on anterior, y por ser
I(0) = 0, corresponde al primer caso particular considerado. As´ı podemos
escribir la corriente directamente como:
]
ε[
t)
(− R
L
I=
1−e
R
Esta soluci´on tambi´en suele darse como:
]
ε[
(− τt )
I=
1−e
R
donde se define la constante de tiempo inductivo τ como:
L
R
La representaci´on gr´afica nos muestra...