Circuitos Electricos

ANALISIS SENOIDAL EN ESTADO ESTABLE
Circuitos Eléctricos II

Introducción
Sustituyendo en la ecuación diferencial tenemos:

d  A cos Z t  B sin Z t   R  A cos Z t  B sin Z t  Vm cos Z t dt L > Z A sin Z t  Z B cos Z t @  R  A cos Z t  B sin Z t  Vm cos Z t L
Aplicando LVK

vL  vR

Agrupando términos:

vf vf Vm cos Zt
RA  L Z B  L Z A  RB
Resolviendo el sistema:di L L  RiL dt di L L  RiL dt

Vm 0

Para la respuesta forzada proponemos como solución:

A

i f t 

A cos Zt  B sin Zt

Vm L Z R 0 R LZ  LZ R

Vm R R  L2Z 2
2

B

R Vm  LZ 0 R LZ R  LZ

Vm L Z R 2  L2Z 2

Por lo tanto, la respuesta forzada es:

i f t 

Vm R V LZ cos Zt  2 m 2 2 sin Zt R 2  L2Z 2 R LZ

Concepto Básico p
Por lo tanto
i f t  i f t ª A2  B 2 « ¬ A A2  B 2 cos Z t  º sin Z t » A2  B 2 ¼ B

A 2  B 2 >cos Z t cos T  sin Z t sin T @

Para la respuesta forzada proponemos como solución:
i f t  i f t  A cos Z t  B sin Z t i ª A2  B 2 « ¬ A A B
2 2

Utilizando la identidad trigonométrica siguiente
cos D cos E r sin D sin E cos D # E 

cos Z t 

º sin Z t » A B ¼ B
2 2

Entonces
i f t  i f t  if t  A 2  B 2 >cos Z t cos T  sin Z t sin T @ i i A 2  B 2 cos Z t  T  B· § A 2  B 2 cos ¨ Z t  arctan ¸ A¹ ©

C A

cos T

A C B C

A A  B2 B A B
2 2 2

B

sin T

T

B arctan A

i f t 

Vm R V ZL cos Zt  2 m 2 2 sin Zt R 2  Z 2 L2 R Z L
· ¸ ¸ ¸ ¸ ¹

i f t 

VmZ L § ¨ 2 2 2 § V R · § V LZ · ¨ 2 m 2 2 ¸  ¨ 2 m 2 2 ¸ cos ¨ Z t  arctan R  Z L Vm R ¨ ©R Z L ¹ © R Z L ¹ ¨ R 2  Z 2 L2 ©
2 2

i f t  i f t  i f t  i f t 

R

Vm2 R 2
2

 Z 2 L2
2

 R
2



Vm2Z 2 L2
2

 Z 2 L2



2

ZL · § cos ¨ Z t  arctan ¸ R ¹ ©
Vm2 R 2  Z 2 L2

Vm2 R 2  Vm2Z 2 L2

R

 Z 2 L2



2

LZ · § cos ¨ Z t  arctan ¸ R ¹ ©

R



2

 Z 2 L2



2

 cos § Z t  arctan Z L · ¨ ¸
© R ¹Vm2 ZL · § cos ¨ Z t  arctan ¸ R 2  Z 2 L2 R ¹ ©



ZL · § cos ¨ Z t  arctan ¸ R ¹ © R 2  Z 2 L2
Vm

Identidad de EULER
Recordando la identidad de Euler:

e r jT cos T r j sin T
Re Im

di L  Ri L dt di L L  Ri L dt L

V m cos Z t V m e jZ t

Re V m e jZ t

^

`

Proponemos como solución: p

i f t 

Be

jZ t

Sustituyendo en la ecuación diferencial:

LL

diL  RiL dt

 j Z L  R B
Vm cos Zt
B

d Be jZ t  R Be dt j Z LBe jZ t  RBe jZ t Vm Vm R  j Z L 







jZ t



V m e jZ t

V m e jZ t Vm

§ jZ L · R 2  Z 2 L2 ‘ arctan ¨ ¸ © R ¹

B

Vm R  j Z L 

B B

§ ZL · R 2  Z 2 L2 ‘ arctan ¨ ¸ © R ¹ Vm § ZL · ‘  arctan ¨ ¸ © R ¹ R 2  Z 2 L2 Vm Vm ‘E e  jE 2 2 2 2 2 2 R Z L R Z L

Vm

Por lotanto, la respuesta forzada es:

i f t 

Vm R 2  Z 2 L2

e  jE e jZ t

Vm R 2  Z 2 L2

e j Z t  E 

Pero solo nos interesa la parte real de este numero complejo:

i f t  i f t  i f t 

­ ½ Vm Re ® e j Z t  E  ¾ 2 2 2 ¯ R Z L ¿ Vm cos Z t  E  2 2 2 R Z L Vm ZL · § cos ¨ Z t  arctan ¸ R ¹ © R 2  Z 2 L2

El concepto de FASOR p
V f t  Vm cos Z t  T  i f t

ZL · § cos ¨ Z t  arctan ¸ R ¹ © R 2  Z 2 L2
Vm

I m cos Z t  I 

Entonces:

v f t  Vm cosZt  T  Re Vme j Zt T  i f t  I m
j Zt I m

^ ` Re^V e e ` cosZt  I  Re^I e   ` Re^I e e `
jZt jT m jZt  jI m

Vme jT Ÿ Fasor de voltaje I me jI Ÿ Fasor de corriente

Un fasor no es más que un numero complejo q representa la q p j que p magnitud y la fase de una ondasenoidal.

V f t  Vm cos Z t  T  i f t  I m cos Z t  I 

Inductancia

vL Vm cos Z t  T 
Re Vm e j Zt T  Vm e j Zt T 

L

Resistencia

v Ri Vm cos Z t  T  RI m cos Z t  I 

^

`

di L dt d L I m cos Z t  I  dt d L Re I m e j Z t I  dt

> ^

`@

^ Re ^ V

Re Vm e
m

j Z t T 

e jT e jZ t V

` `

R Re I m e
m

^ R Re ^I...