Circulacion y flujo
Dado el vector a = ( x + y ) iˆ + xy ˆ calcular su circulación a lo largo de la recta y = x+1 desde
j
el punto A (0, 1) al B (1, 2).
Solución: I.T.I. 99, 05, I.T.T. 02
En la trayectoria que nos indican: y = x+1, dy = dx
B
∫
recta
1
1
A
0
0
a ⋅ dr = ∫ [(x + y ) dx + xy dy ] = ∫ [(2x + 1) dx + x ( x + 1) dx ] = ∫ ( x 2 + 3x + 1) dx =17
6
2 ˆ
Dado el vector v = ( x + y ) i + xy ˆ calcular su circulación a lo largo de la recta y = x+1 desde
j
el punto A (0, 1) al B (1, 2).
Solución: I.T.I. 04
En la trayectoria que nos indican: y = x+1, dy = dx
B
∫
recta
1
2
2
v ⋅ dr = ∫ ⎡( x + y ) dx + xy dy ⎤ = ∫ ⎡( 2x + 1) dx + x ( x + 1) dx ⎤ =
⎣
⎦
⎣
⎦
A
0
ˆ
Siendo A = (2y + 3) ˆ +xz ˆ + ( yz − x ) k hallar
i
j
∫ A ⋅ dr
1
∫ ( 5x
2
)
+ 5x + 1 dx =
0
a lo largo de las siguientes
C
trayectorias C:
a) x = 2t 2 , y = t, z = t 3 desde t = 0 hasta t = 1
b) La quebrada que une los puntos (0,0,0), (0,0,1), (0,1,1), (2,1,1)
c) La recta que une los puntos (0,0,0) y (2,1,1)
Solución: I.T.I. 95, 03, 06, I.T.T. 95, 03, 06, I.I. 94Independientemente de cual sea la trayectoria seguida, en cualquiera de los tres casos
tendremos que:
€
A ⋅ dr = ∫ [(2y + 3) dx + xzdy + ( yz − x ) dz] (1)
∫
C
C
Para cada caso en particular:
a) x = 2t 2 , dx = 4t dt, y = t, dy = dt, z = t 3 , dz = 3t 2 dt
Física
Tema
31
6
Página 1
1
2 3
3
2
2
Sustituyendo en (1): ∫ A ⋅ dr = ∫ (2t + 3) 4t dt + 2t t dt + (t t − 2t) 3t dt =
C
0
[
]
288
35
b) En la línea que une los puntos (0,0,0), (0,0,1) tenemos que: x = y = 0, dx = dy = 0.
∫
Sustituyendo en (1):
( 0,0,0 ) →( 0,0,1)
1
A ⋅ dr = ∫ 0 dz = 0
0
En la línea que une los puntos (0,0,1), (0,1,1) tenemos que: x = 0, z = 1, dx = dz = 0.
∫
Sustituyendo en (1):
( 0,0,1)→( 0,1,1)
1
A ⋅ dr = ∫ 0 dy = 0
0
En lalínea que une los puntos (0,1,1), (2,1,1) tenemos que: y = z = 1, dy = dz = 0.
∫
Sustituyendo en (1):
( 0,1,1) →( 2,1,1)
2
A ⋅ dr = ∫ 5dx = 10
0
Por lo tanto a lo largo de la trayectoria quebrada tendremos:
A ⋅ dr = 0 + 0 + 10 =
∫
10
C
c) En la línea que une los puntos (0,0,0), (2,1,1) tenemos que: x = 2t, y = z = t, dx = 2dt,
dy = dz = dt con t un parámetroque va de 0 a 1.
1 2
Sustituyendo en (1): ∫ A ⋅ dr = ∫ (3t + 2t + 6) dt = 8
C
0
€
ˆ
Siendo A = (3x 2 + 6y ) ˆ − 14yz ˆ + 20xz 2 k hallar
i
j
A ⋅ dr a lo largo de las siguientes
∫
C
trayectorias C:
a) x = t, y = t 2 , z = t 3 desde t = 0 hasta t = 1
b) La quebrada que une los puntos (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1)
c) La recta que une los puntos (0,0,0) y(1,1,1)
Solución: I.T.I. 96, 00, 01, 02, I.T.T. 96, 00, 04
Independientemente de cual sea la trayectoria seguida, en cualquiera de los tres casos
tendremos que:
∫ A ⋅ dr = ∫ [( 3x
C
2
+ 6y ) dx − 14 yzdy + 20xz 2 dz
C
]
(1)
Para cada caso en particular:
€
€
Física
Tema
Página 2
a) x = t, dx = dt, y = t 2 , dy = 2t dt, z = t 3 , dz = 3t 2 dt
1
22
2 3
6
2
Sustituyendo en (1): ∫ A ⋅ dr = ∫ ( 3t + 6t ) dt − 14t t 2t dt + 20t t 3t dt =
C
0
[
]
5
b) En la línea que une los puntos (0,0,0), (1,0,0) tenemos que: y = z = 0, dy = dz = 0.
Sustituyendo en (1):
∫
( 0,0,0 ) →(1,0,0 )
1
A ⋅ dr = ∫ 3x 2 dx = 1
0
En la línea que une los puntos (1,0,0), (1,1,0) tenemos que: x = 1, z = 0, dx = dz = 0.
Sustituyendoen (1):
∫
(1,0,0 )→(1,1,0 )
1
A ⋅ dr = ∫ 0 dy = 0
0
En la línea que une los puntos (1,1,0), (1,1,1) tenemos que: x = y = 1, dx = dy = 0.
1
20
Sustituyendo en (1):
∫ (1,1,1) A ⋅ dr = ∫0 20z2 dz = 3
(1,1,0) →
Por lo tanto a lo largo de la trayectoria quebrada tendremos:
∫ A ⋅ dr = 1 + 0 +
C
20
=
3
23
3
c) En la línea que une los puntos...
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