Circulo De Morh

Dpto. Física y Mecánica

Círculo de Mohr
Elvira Martínez Ramírez
OCW-UPM

Justificación
Justificación matemática

OCW-UPM

Dada una figura, de área A, se quiere
conocer las rectas R1 yR2 que
proporcionan el máximo y mínimo
valor del momento de inercia, así
como dichos valores de los momentos
de inercia

Y

X

α

R1
Una recta R que proporcione un máximo (o mínimo) delmomento de inercia forma con el eje OX un ángulo α
OCW-UPM

I R = I OX cos α + I OY s en α − 2 PXY senα cos α
2

2

sen 2α = 2 senα cos α
1
sen α = (1 − cos 2α )
2
2

1
cos α = (1 +cos 2α )
2
2

I OX + I OY I OX − I OY
IR =
+
cos 2α − PXY sen 2α
2
2
OCW-UPM

PR1R2 = PXY sen(α + β ) − I OX cos α cos β − I OY senα senβ
Si R1 es perpendicular a R2

β =α +π / 2

senβ= cos α
cos β = − senα
sen(α + β ) = cos 2α
PR1R2

 I OX − I OY 
= PXY cos 2α + sen2α 

2


OCW-UPM

Si el producto de inercia respecto a dos rectas R1 y R2 es
nulo, se verifica I OX − I OY
PXY cos 2α + sen2α 
2



=0


Una de las rectas formará con la horizontal un ángulo α de
forma que se cumple

2 PXY
tg 2α =
I OY − I OX
El momento de inerciarespecto a dicha recta será máximo
o mínimo
OCW-UPM

Reordenando las ecuaciones anteriores

I OX + I OY I OX − I OY
IR −
=
cos 2α − PXY sen 2α
2
2

 I OX − I OY
=
2


PR1R2


sen 2α + PXY cos 2α


Elevando al cuadrado cada ecuación
I + I OY   I OX − I OY 

I −I
I R − OX
=
cos 2 2α − 2  OX OY



2
2
2




2

2

 I OX − I OY 
 I OX −I OY
2
=
 sen 2α + 2 PXY 
2
2



2

PR2R2
1


2
PXY sen 2α cos 2α + PXY sen 2 2α




2
sen 2α cos 2α + PXY cos 2 2α


OCW-UPM

Sumando las dos ecuaciones

IOX + I OY 

 I OX − I OY 
2
2
+ PR1R2 = 
IR −
 + PXY


2
2




2

2

Ecuación análoga a la de una circunferencia de radio R y centro
C(a,b)

( x − a ) + ( y − b) =...