Circulo De Morh

Circulo de Mohr:
• Breve reseña:
Desarrollo hecho por Christian Otto Mohr (1835-1918), el círculo de Mohr es un método
gráfico para determinar el estado tensional en los distintos puntos de un cuerpo. Entre las
tensiones que existentes en un cuerpo sometido a un cierto estado de cargas y con unas
ciertas restricciones, importan en general las tensiones principales, que son las tensionesque existen sobre ciertos planos del cuerpo, donde las tensiones de corte nulas. Estas
tensiones son de importancia para el estudio de la resistencia mecánica de una pieza.
Este método tiene aplicación para estados tensionales en dos y tres dimensiones.
• Teoría del círculo de Mohr para dos dimensiones:
Considere un cuerpo sobre el cuál actúa un estado plano de cargas. Consideremos alplano
de carga para nuestro sistema al plano xy (ver figura 1), de modo de que no existan
esfuerzos en el sentido perpendicular a este (esfuerzos en z nulos). Adoptamos un elemento
triangular donde se supone que los ejes x e y son principales, o sea las tensiones de corte en
esos planos son nulas. Esta suposición se hace con el fin de no complicar por demás la
matemática siendo elobjeto de este desarrollo conocer el desarrollo matemático a fin de
ser asociado con el modelo físico:
figura 1
En la figura 1, además de los ejes x e y, se muestra otro par de ejes coordenados los cuales
han sido rotados un ángulo θ respecto del eje z (normal al plano), el par de ejes x1 e y1 son
normal y tangente al plano Aθ
respectivamente.
Queremos obtener una relación entre lastensiones en las áreas Ax
, Ay y Aθ.
Evaluemos el equilibrio de fuerzas en la dirección del eje x:
0cos.A.sen.A.A. xx
−σ− τ θθ
θ + σ θθ
θ = (1)
Ahora evaluemos el equilibrio de fuerzas en la dirección del eje y:
y y
.A .A .cos .A .sen 0 −σ + τ θ + σ θ = θ θ θ θ
(2)
1 / 9 ESTRUCTURAS III Círculo de MohrConsiderando que Ax =Aθ.cosθ y que Ay =Aθ.senθ, re escribimos las ecuaciones 1 y 2:
0A donde ,0cos.sen.cos. − σx
τ−θ θ
θ + σθ
θ = θ
≠ (1-1)
y
.sen .cos .sen 0, donde A 0 −σ θ + τ θ + σ θ = ≠ θ θ θ
(2-2)
Multiplicando la ecuación (1-1) por cosθ, la (2-2) por senθ y sumando ambas se llega a:
σ+θσ−θσ−= θ
2
y
2
x
sen.cos.0 (3)
Y considerandolas relaciones trigonométricas:
( )
( )
)4(
2
2sen
cos.sen
2
2cos1
sen
2
2cos1
cos
2
2
⎭
⎬
⎫
θ
=θθ
θ−
=θ
θ+
=θ
Se llega a:
( ) ( )
θ
σ − σ
+
σ + σ
θ
=σ 2cos.
2 2
yxyx
(5)
Analizamos las ecuaciones (1-1) y la (2-2) para obtener el corte en el plano θ:
Multiplicando la ecuación (1-1) por senθ, la (2-2) por cosθ, sumando ambas y
considerando las relacionestrigonométricas (4) se llega a:
( )
θ
σ − σ
−=τθ
2sen.
2
yx
(6)
Obsérvese que las ecuaciones (5) y (6) no son mas que las componentes cartesianas de los
puntos correspondientes a una circunferencia en el plano xy, la ecuación de la
circunferencia se obtiene considerando la relación trigonométrica ,
entonces reemplazando en (5) y (6) se obtiene:
2 2
sen cos 1 θ + θ =
( ) ( )
22
x y 2 x y
2 2
θ θ
⎡ ⎤ ⎡ σ + σ σ − σ
σ − + τ =
⎣ ⎦ ⎣
⎤
⎦
Esta circunferencia es lo que denominamos “Círculo de Mohr” para dos dimensiones. En
esta circunferencia el ángulo formado por la recta con origen en el centro de la misma
( )
⎠
⎞
⎝
⎛ σ+σ
2
yx
y un punto cualquiera perteneciente al perímetro de la circunferencia, tiene
valor 2θ, siendo θ el ángulo de inclinación delplano para el cuál las tensiones sobre esa
superficie valen σθ y τθ. Consideremos σx< σy.
2 / 9 ESTRUCTURAS III Círculo de Mohr
θ
τ
τ
σ
σx σy
2θ
σθ
Así como se calculó el estado tensional en el plano θ a partir de las tensiones principales, el
proceso se puede hacer de...