circunferecia

.CIRCUNFERENCIA.
Circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano; el punto fijo se llama centro y la distancia constante radio.

La circunferencia cuyo centro es (h, k) y de radio r tiene por ecuación: (x - h)2 + (y - k)2 = r2 y recibe el nombre de ecuación en formaordinaria.
3.1.Forma general de la ecuación de una circunferencia.
Dada la forma ordinaria (x - h)2 + (y - k)2 = r2 desarrollamos los cuadrados y tenemos:
X2 – 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 = r2; agrupando términos:
X2 + y2 + (-2h)x + (-2k)y + (h2 + k2 – r2) = 0; por último tenemos:
D E F
X2 + y2 + Dx +Ey + F = 0 que es la forma general que buscábamos. De aquí deducimos que cualquier ecuación en formaordinaria puede transformarse mediante operaciones correctas a la forma general.
3.2.Tangente a una circunferencia.
Dada la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria o general, hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia que tiene dicha ecuación dados un punto de contacto, la pendiente de la de la recta buscada o un punto exterior por el cual pasa la recta tangente.
En geometríaelemental se estudia únicamente la tangente a una curva: la circunferencia, el estudio hecho es insuficiente para las curvas planas en general, por ello, estudiaremos un método que se aplique a todas las curvas existentes en el siguiente apartado.
4.TANGENTE A UNA CURVA.
Dada la función f(x, y) y la recta, que es tangente a esa curva, y = mx + b despejamos y en la ecuación de la recta y lasustituimos en f(x, y), después de esto nos debe quedar una ecuación de segundo grado, la cual hay que resolver con la siguiente condición: sabemos que la ecuación de segundo grado tiene un discriminante, en nuestro caso le llamaremos D y lo igualaremos a cero quedando de la forma D = 0 y le llamaremos "condición de tangencia".
En la expresión hablamos de una función general en dos variables y nosreferimos a funciones cuadráticas donde y = mx + b representa una familia de rectas y el sistema pretende determinar cuál de esas rectas es tangente.
Resolviendo nos queda una ecuación de segundo grado, como lo habíamos dicho con anterioridad, para la variable x y como estamos buscando una única solución se deduce que el discriminante tiene que ser igual a cero, es decir, estamos hablando de lacondición de tangencia.
De manera práctica se encuentran tres casos de tangentes a cónicas.
1. Se conoce el punto de contacto, aquí hay una sola tangente.
2. Se conoce la pendiente, aquí hay dos tangentes.
3. Se conoce un punto exterior por el cual pasa la tangente, aquí hay dos tangentes.
Para hallar las ecuaciones de las tangentes se sustituye el dato conocido en la ecuación de la recta y seresuelve la aplicando la condición de tangencia, determinando así la ecuación de las rectas.
5.PARÁBOLA.
Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de talo manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. Al punto fijo se le llama foco y la recta fija directriz.La recta que es perpendicular a la directriz y que pasa por el foco se llama eje focal, la intersección de la parábola con el eje focal se denomina vértice. La cuerda focal es el segmento de recta perpendicular al eje focal y que pasa por el foco, en nuestra gráfica, esta es el lado recto.
Los elementos de una parábola son entonces: vértice, foco, longitud del lado recto, y la ecuación de ladirectriz. Nosotros estudiaremos únicamente las parábolas con ejes focales paralelos al eje X o al eje Y. La distancia del vértice a la directriz es la misma distancia del vértice al foco.
Teorema:
La ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje focal paralelo al eje X es de la forma: (y - k)² = 4p(x - h) y sus elementos son los siguientes:
Foco(h + p, k)
Directriz x = h – p
Eje focal y = k...