Circunferencia de Apolonio

Dados dos puntos fijos A y B, se trata de determinar el lugar geométrico de los puntos del plano P que cumplen: PA/PB = K, siendo Kuna constante.
En el caso K = 1 es fácil comprobar que el lugar geométrico descrito por el punto P es la recta mediatriz delsegmento determinado por A y B.
En el caso general (r distinto de 1) el lugar geométrico es una circunferencia de radio "k" cuyo centroestá sobre el segmento AB. Esta circunferencia se conoce con el nombre de circunferencia de Apolonio de los puntos A y B para la razónK.
Además, se cumple que , siendo r el radio de la circunferencia de Apolonio de centro O; lo que significa que los puntos A y B soninversos respecto de la circunferencia de Apolonio. Por ello los puntos A, B y los dos puntos M y N que se obtienen comointersección de la circunferencia de Apolonio con la recta determinada por A y B constituyen una cuaterna armónica.

a) Consideremos un puntoP, no alineado con A y B, que cumpla la propiedad. Si consideramos el triángulo APB, sabemos por el teorema de las bisectrices que siM y N son los puntos en los que las bisectrices, interna y externa, del ángulo P cortan a la recta AB, se cumple que r = AP/PB =AM/MB = AN/BN. Resulta así que para cualquier punto P los puntos M y N son fijos y, además, por ser MP y PN bisectrices, el ángulo