Clase 3 Combinatoria Y Probabilidad Cl Sica

PPTCES003MT22-A13V1

MT-22

Clase

Combinatoria y probabilidad clásica

Resumen de la clase anterior

Estadística descriptiva

Medidas de
tendencia central
Media aritmética
o promedio
Mediana o
percentil 50
Moda

Medidas de
dispersión

Rango

Desviación típica
o estándar

Aprendizajes esperados
•

Aplicar el concepto de factorial en los ejercicios de combinatoria.

•

Aplicar el concepto deprobabilidad.

•

Resolver problemas que involucren probabilidad clásica.

Pregunta oficial PSU
63. En una fila de 7 sillas se sientan cuatro mujeres y tres hombres, ¿de cuántas
maneras se pueden sentar ordenadamente, si las mujeres deben estar juntas y
los hombres también?
A)
B)
C)
D)
E)

2
4·3
3!·4!·2
3!·4!
4·3·2

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2013.

1. Combinatoria
2.Probabilidades

1. Combinatoria
1.1 Principio multiplicativo
Se tienen los elementos a1 , a2 , a3 ,..., an que pueden ser elegidos de
k1 , k2 , k3 ,..., kn
formas distintas.
Por lo tanto, si se quieren elegir todos los elementos, entonces se
... kn
puedenkescoger
maneras diferentes.
1 k 2 k3 de
Ejemplo: ¿Cuántos números impares de tres cifras se pueden formar
usando los números 1, 2, 4, 5, 6, 7 y 9,si estos no pueden repetirse?

5

6

4

En total hay 7 números. Si ya se
ocuparon dos, solo quedan 5
opciones.

Para que el número sea impar se tienen
4 opciones el {1, 5, 7, 9}
En total hay 7 números. Como ya se
ocupó uno en la última cifra solo
quedan 6 opciones.

Por lo tanto, se pueden formar 5 · 6 · 4 = 120 números.

1. Combinatoria
Factorial de n = n !
Ejemplo: 6 ! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 11.2 Permutación
Sin repetición
Definición

Fórmula

Ejemplo

Con repetición

Grupos que se forman con n Grupos de n elementos que se
elementos a la vez. Se diferencian repiten a, b,…,r veces.
en el orden de estos elementos.

Pn n!

n

Pr 

n!
a ! b ! ... r !

¿De cuántas maneras se pueden ¿De cuántas maneras se pueden
ordenar en una fila a 4 personas? ordenar en una línea 5 banderas
de lascuales 3 son blancas y 2
son azules?

P4  4!  4 3 2 1  24

5

P2,3 

5!
5 4 3 !

10
2 ! 3 ! 2 1 3 !

1. Combinatoria
1.3 Variación
Sin repetición
Definición

Grupos con k elementos que se Misma definición anterior, pero en
forman con los n elementos que se este caso los elementos se
tienen. Influye el orden de sus pueden repetir.
componentes.
n

Fórmula

Ejemplo

Con repetición

Vk

n!
(n  k ) !

n

Vk ,k n k

¿De cuántas formas se puede ¿Cuántos números de 3 dígitos se
elegir un presidente, un secretario y pueden formar con los primeros 6
un tesorero dentro de un grupo de números naturales?
10 personas?
10

V3 

10 !
10 9 8 7 !

720
(10  3) !
7!

6

V3,3 63  216

1. Combinatoria
1.4 Combinación
Sin repetición
Definición

Con repetición

Grupos con k elementos quese Misma definición anterior, pero en
forman con los n elementos que este caso los elementos se
se tienen. No influye el orden de pueden repetir.
sus componentes.

Ck

Fórmula

n

n
n!
  
 k  k ! (n  k ) !

 n  k  1 (n  k  1) !
n
C( k ,k ) 

 k
 k ! (n  1) !

¿De cuántas maneras se pueden Hay 4 tipos diferentes de botellas
sentar 8 personas si hay 5 en una bodega. ¿Decuántas
asientos disponibles?
formas se pueden elegir 3 de ellas?

Ejemplo

8!
8 7 6 5 !
C5 

56
5 ! (8  5) ! 5 ! 3 2 1
8

C(3,3) 4 

6!
6 5 4 3 !

20
3 ! ( 4  1) ! 3 ! 3 2 1

2. Probabilidades
2.1 Definiciones
El concepto de probabilidad se encuentra con frecuencia en la
comunicación entre las personas. Por ejemplo:
1) Pilar y Álvaro tienen un 27% de probabilidades de ganarseun
viaje al extranjero.
2) Los alumnos de Cpech tienen un 95% de probabilidades de
ingresar a la universidad.
En los ejemplos, se da una medida de la ocurrencia de una situación que
es incierta (ganarse un viaje o ingresar a la universidad), y esta se
expresa mediante un número.
2.1.1 Experimentos aleatorios
Representan aquellas situaciones en las cuales podemos conocer todas
las posibilidades...