Clase04

Departamento de Control, División de Ingeniería Eléctrica
Facultad de Ingeniería UNAM

La función de transferencia de
sistemas lineales

México D.F. a 21 de Agosto de 2006

La función de transferencia

L  c(t )
Función de transferen cia 
L  r (t )

c (t ) salida
r (t ) entrada
con condiciones iniciales cero

La función de transferencia
de un sistema se define como la
transformadadetransferencia:
Laplace de la variable de salida y la transformada de
La función de
Laplace de la variable de entrada, suponiendo condiciones iniciales cero.
•Solo es aplicable a sistemas descritos por ecuaciones diferenciales
lineales invariantes en el tiempo.
•Es una descripción entrada salida del comportamiento del sistema.
•Depende de las características del sistema y no de la magnitud y tipo
deentrada
•No proporciona información acerca de la estructura interna del sistema

La función de transferencia
Ejemplos de funciones de transferencia:
1.- Circuito RL
Utilizando ley de voltajes de Kirchhoff, se tiene:

di
v(t ) Ri (t )  L
dt

R

i (t )
v (t )
Figura 1. Circuito RL

Aplicando la transformada de Laplace con condiciones iniciales cero:

V ( s ) RI ( s )  LsI ( s )
la relacióncorriente voltaje en Laplace, queda:

1
I (s)
 R
V ( s) L s  1
R

L

La función de transferencia
2.- Sistema masa amortiguador resorte
Utilizando las leyes de Newton, se obtiene:

d2y
dy
m 2  b  ky (t ) r (t )
dt
dt
donde m es la masa, b es el coeficiente de fricción viscosa,
k es la constante del resorte, y (t ) es el desplazamiento y r (t )
es la fuerza aplicada. Su transformada de Laplace es:

 



k
b
m
y(t)

M s 2Y ( s )  sy (0 )  y ' (0 )  b sY ( s )  y (0 )  KY ( s ) R ( s )
considerando:

y ' (0 ) 0, y (0 ) 0,

Ms 2Y ( s )  bsY ( s )  KY ( s ) R ( s )

Y (s)
1
 2
La función de transferencia es:
R ( s ) Ms  bs  K

r(t)
Figura 1. Sistema masa
Amortiguador resorte.

La función de transferencia
2b.- Sistema masa amortiguador resorte con desplazamiento inicialConsidérese ahora que existe un desplazamiento inicial y0 . Entonces para
conservar la condición una entrada una salida se hace r (t ) 0



 



M s 2Y ( s )  sy (0  )  y ' (0  )  b sY ( s )  y (0  )  KY ( s ) R ( s )
condiciones iniciales

r (t ) 0, y ' (0 ) 0, y (0 )  y0 ,

La función de transferencia es:

Y (s) 

y0 ( Ms  b)
Ms 2  bs  K

Ahora el desplazamiento
solo dependede la
posición inicial y los
parámetros del sistema.

La función de transferencia
Resumen de las leyes de elementos
Tipo de
elemento

Elemento
físico

Ecuación
representativa

I
n
d
u
c
t
a
n
c
i
a

Inductancia
eléctrica

di
v21 L
dt

Resorte
traslacional

v21 

1 df
k dt

Símbolo

i

L

v1

v2

f

f
v1

Resorte
rotacional

1 dT
21 
k dt

v2

1
T1

2
T2

La función de transferenciaResumen de las leyes de elementos
Capacitancia
eléctrica

C
a
p
a
c
i
t
a
n
c
i
a

Masa

Inercia

Capacitancia
fluídica

Capacitancia
térmica

i

dv
i C 21
dt
f m

v1

dv
dt

m

f

d
T j
dt

q21 C f

q Ct

dp21
dt
dT
dt

v2

C

v
T

j
p2
p1

q1

q2

Cf
q

T

Ct

La función de transferencia
Resumen de las leyes de elementos
Resistencia
eléctrica

R
e
s
i
s
t
e
n
c
i
a

Amortiguador
traslacionalAmortiguador
rotacional
Resistencia
fluídica

Resistencia
térmica

i

1
i  v21
R
f bv

T b 21

q

v1

b

f

f

v21
T

T

1

1
p21
Rf

1
q  T21
Rt

v2

R

p1
T1

2

b

q
Rf
Rt

p2
q
T2

Diagramas de bloques
La relación causa y efecto de la función de transferencia, permite
representar las relaciones de un sistema por medios
diagramáticos.
Diagrama a bloques
Los diagramas de bloques de unsistema son bloques operacionales y
unidireccionales que representan la función de transferencia de las
variables de interés.
Consideraciones:
• Tiene la ventaja de representar en forma más gráfica el flujo de señales
de un sistema.
• Con los bloques es posible evaluar la contribución de cada componente
al desempeño total del sistema.
• No incluye información de la construcción física del sistema...