Clase1

C LASE 1

S UCESIONES

Figura 1.1: http://www.nasdaq.com/symbol/ixic/interactive-chart
¿Por qu´e estudiar sucesiones? La mayor´ıa de los procesos econ´omicos responden a una naturaleza discreta: cantidades enteras (bienes indivisibles), conteo de elementos, etc. El estudio de la
teor´ıa de sucesiones permite identificar patrones de comportamiento en estas tendencias, etc.
En esta claseintroducimos los conceptos b´asicos de sucesiones, aunque las dejamos r´apidamente de lado al considerar cantidades continuas, que estudiaremos a trav´es de las herramientas
del c´alculo.

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1.1.

Definici´on y ejemplos. Sucesiones mon´otonas

A lo largo de este curso, salvo que se indique expresamente lo contrario, todas las funciones
ser´an aplicaciones, esto es, toda funci´on escrita como f : A → Btendr´a como dominio el conjunto
A.
Consideremos los listados de n´umeros reales
1, 2, 4, 8, 16, . . .
0, 5, 10, 15, 20, 25, . . .
−2, 0, 3, 3, −3.1, −3.01, −3.001, . . .
Informalmente hablando, la idea de sucesi´on es la de un listado infinito de n´umeros reales, en
el que se respeta el orden de aparici´on. Tomemos el u´ ltimo de los ejemplos. Siendo a1 = −2 el
primer n´umero de la lista, a2 = 0el segundo, a3 = 3 el tercer n´umero, a4 = 3 el cuarto n´umero
(las repeticiones se cuentan las veces necesarias), a5 = −3.1 el quinto n´umero, etc., escribimos
nuestro listado como
a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , . . .
Este etiquetado corresponde a la asignaci´on de un (´unico) n´umero real a cada n´umero natural, y
por lo tanto una funci´on.
Definici´on 1.1 (Sucesi´on). Una sucesi´on (de n´umerosreales) es una funci´on a : N → R. Escribimos, para cada n ≥ 1, an = a(n), y denotamos la sucesi´on por (an )n∈N en lugar de a.
Observaci´on. La forma m´as f´acil de construir una sucesi´on es a partir de una regla que defina el
t´ermino n-´esimo. As´ı por ejemplo, la f´ormula an = 1/n define la sucesi´on:
1
1 1
1, , , . . . , , . . .
2 3
n
En algunas ocasiones son necesarias dos o m´as reglas paradescribir los elementos de la lista. Por
ejemplo, si consideramos la sucesi´on
an =

1, si n es impar,
n
, si n es par.
2

En este caso los primeros t´erminos de la sucesi´on son:
1, 1, 1, 2, 1, 3, . . .
Otra forma de definir a una sucesi´on es mediante una f´ormula de recurrencia, que permite calcular
un t´ermino a partir de los anteriores. Si consideramos a1 = a2 = 1 y la f´ormula derecurrencia
an+1 = an + an−1 , tendremos:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . .
Esta sucesi´on se conoce como sucesi´on de Fibonacci, nombre que recibe del matem´atico italiano,
Leonardo de Pisa, que la estudi´o al tratar un problema relativo a los procesos hereditarios en los
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conejos. Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad f´ertil, a partir de ese momento
cada vez engendra una pareja deconejos, que a su vez, tras ser f´ertiles engendrar´an cada mes una
pareja de conejos. ¿Cu´antos conejos habr´a al cabo de un determinado n´umero de meses?.
Definici´on 1.2 (Sucesi´on creciente). Una sucesi´on (an )n∈N es creciente si para cada n ≥ 1, se
cumple que an+1 ≥ an . Esta sucesi´on es adem´as estrictamente creciente si para cada n ≥ 1,
an+1 > an . Observe que, para una sucesi´oncreciente cualquiera
· · · ≥ am ≥ am−1 ≥ am−2 ≥ · · · ≥ a3 ≥ a2 ≥ a1 .
Ejemplo 1.3. La sucesi´on an =
tamente creciente.

n−1
1 2 3 4 5
, cuyos primeros elementos son 0, , , , , , es estricn
2 3 4 5 6

Ejercicio 1.4. Defina sucesi´on decreciente y sucesi´on estrictamente decreciente.
Una sucesi´on de cualquiera de los cuatro tipos de sucesiones anteriores se denomina sucesi´on
mon´otona.
Ejemplo 1.5(Sucesiones aritm´eticas). Una sucesi´on aritm´etica es una sucesi´on de la forma
un = a + (n − 1)d,
donde a y d son dos n´umeros reales. El n´umero u1 = a es el valor inicial de la sucesi´on, mientras
que un+1 − un = d, que no depende de n, es la raz´on de la sucesi´on. Si d > 0, la sucesi´on es
estrictamente creciente, mientras que si d < 0 es estrictamente decreciente.
Ejemplo 1.6. La sucesi´on...