Clase5

Contenido de la clase
El primer contacto con l´ımites concierne a l´ımites de funciones. Para dar una idea intuitiva del
l´ımite de una funci´
on se dedicar´a esta secci´
on a una interpretaci´
on gr´afica, los resultados de estos
se confirmar´
an anal´ıticamente.
Se comenzar´
a con una funci´
on particular:
f (x) =

2x2 + x − 3
,
x−1

Df = R − {1}

Observe que esta funci´
on no est´
a definidacuando x = 1; esto es, f (1) no existe. Sin embargo,
la funci´
on est´
a definida para cualquier otro n´
umero real. Se investigar´
an los valores de la funci´
on
cuando x se aproxima a 1, pero sin llegar a ser 1. Veamos las siguientes tablas
x
f (x)

0
3

0.5
4

0.75
4.5

0.9
4.8

0.99
4.98

x
f (x)

0.999
4.998

(a) x < 1

2
7

1.5
6

1.25
5.5

1.1
5.2

1.01
5.02

1.001
5.002

(b) x > 1

Seobserva en las tablas que cuanto m´as se acerca x a 1 (ya sea por la izquierda o por la derecha
de 1), m´as cerca est´
a f (x) de 5. Es m´as, podemos acercar f (x) a 5 tanto como queramos, tomando x
suficientemente cercanoa 1. Este comportamiento se expresa con la frase: el limite de f (x), cuando
x tiende a 1, es 5. La notaci´
on para est´
a expresi´
on es,
l´ım f (x) = 5

x→1

6
5
4
3
2
1
−2 −1
−11

2

3

4

−2
−3

Definici´
on 9. (Informal) de Limite
Sea f una funci´
on y sean a y L n´
umeros reales. Se dice que el limite de f (x) cuando x tiende al
n´
umero a es el n´
umero L y se escribe
l´ım f (x) = L
x→a

si se puede acercar f (x) a L tanto como se quiera, tomando x suficientemente cercano al n´
umero
a, pero x = a.
Obs 1. En la definici´
on dada no importa si f (a) existe o no existe;lo que si importa es que f (x)
est´e definido para todo x perteneciente a un intervalo del tipo (a, b) y del tipo (c, a).

19

Ejemplo 24. La siguiente es la gr´
afica de una funci´
on f ,

3
y = f (x)

2
1

−3 −2 −1
−1

1

2

3

4

5

6

7

−2
−3
Figura 2: Limites
Se deduce que
l´ım f (x) = 1

l´ım f (x) = 2

x→−2

x→−1

l´ım f (x)

x→3

No existe

Si x tiende a 0 por el lado izquierdo de 0, f(x) tiende a 3, pero si x tiende a 0 por el lado derecho
de 0, f (x) tiende a 1. Por tanto f (x) no se acerca a un mismo n´
umero cuando x tiende a 0. En
este caso l´ım f (x) no existe N.E.
x→0

Definici´
on 10. Unicidad del Limite
Si l´ım f (x) = L1 y l´ım f (x) = L2 , entonces L1 = L2 .
x→a

x→a

Limites Laterales.
En el ejemplo anterior, lo que ocurre con f (x) cuando x → 0, se expresaescribiendo
l´ım f (x) = 3

y

x→0−

l´ım f (x) = 1

x→0+

En general, se escribe
l´ım f (x) = L ( l´ım+ f (x) = L)

x→a−

x→a

que se lee: el limite de f (x) cuando x tiende al n´
umero a por la izquierda (derecha), si f (x) se
puede acercar a L tanto como se quiera, tomando x suficientemente cercano al n´
umero a, pero con
x < a (x > a).
Definici´
on 11.
l´ım f (x) = L si y solo si, l´ım− f (x) = l´ım+f (x) = L.

x→a

x→a

x→a

Ejemplo 25. Examinar l´ım f (x) si f (x) =
x→0

|x|
x .

Leyes de los Limites.

20

Definici´
on 12. Leyes de los Limites
Sean N, M y c n´
umeros reales, tal que l´ım f (x) = N y l´ım g(x) = M . Entonces
x→a

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

x→a

l´ım (f (x) ± g(x)) = N ± M

x→a

l´ım c · f (x) = c · N

x→a

l´ım (f (x) · g(x)) = N · M

x→a

f (x)
N
=
si M = 0.
g(x)
Ml´ım [f (x)]n = [N ]n , n ∈ Z+
l´ım

x→a
x→a

l´ım c = c

x→a

l´ım x = a

x→a

l´ım xn = an n ∈ Z+
√
√
n ∈ Z+ , si n es par , a > 0.
l´ım n x = n a
x→a
√
n
n ∈ Z+ , si n es par , N > 0.
l´ım n f (x) = N

x→a

x→a

Ejemplo 26. Evaluar los siguientes limites, justificando cada paso.
1. l´ım (3x3 − 4x + 2)
x→5

x3 + 2x2 − 1
x→−2
5 − 4x

2. l´ım

3. l´ım

x→−2

4x2 − 3

´ n directa
Teorema 1. SustitucioSi f es un polinomio o una funci´
on racional y a ∈ Df , entonces
l´ım f (x) = f (a)

x→a

Forma Indeterminada 0/0.
Si en un limite del tipo
l´ım

x→a

f (x)
g(x)

ocurre que l´ım g(x) = 0 y l´ım f (x) = 0, se dice que el limite presenta la forma indeterminada 0/0.
x→a
x→a
Cuando ello suceda, trataremos de eliminar la indeterminaci´on, para poder saber si el limite existe
o n´
o, y el valor...