Taller5

Taller 5 - C´
alculo Diferencial - Clases 10-11
INSTRUCCIONES: Antes de intentar resolver los ejercicios
delDOCENTE:LUIS
taller, repase un poco
la teor´ıa y ejemplos vistos en
F. MACHADO
clase. Realice este taller individualmente o en grupos. Si tiene alguna pregunta, asista a las asesor´ıas con monitores o
profesores.

5. Suponga que f , g son funciones. Para cada uno de los
siguiente casos,¿qu´e puede decir sobre los valores de
f (x) y g(x) para x cercanos a a ?
a) l´ım (g(x) + f (x)) = 0.
x→a

1. ¿Qu´e significa que el l´ımite cuando x tiende a r de f (x)
es el n´
umero L? Explique en sus propias palabras.

b) l´ım (g(x)f (x)) = 0, pero l´ım f (x) = 5.

2. ¿Cu´ando se puede dar que l´ım f (x) no exista? Ilustre
x→r
ejemplos.

c) l´ım

g(x)
= 1.
f (x)

d) l´ım

g(x)
= 0, pero l´ım g(x) =5.
x→a
f (x)

e) l´ım

g(x)
= 2, pero l´ım f (x) = 0.
x→a
f (x)

3. ¿Qu´e dice el teorema de Compresi´
on?
4. Responda si el enunciado es verdadero o falso. Si es verdadero, explique por qu´e, y si es falso escriba el enunciado correcto o muestre un ejemplo donde el enunciado
dado no se cumpla.

x→a

x→a

x→a

x→a

x→a

6. Use una calculadora para estimar el valor de los siguientes importantesl´ımites:

a) Para calcular l´ım f (x) hay que evaluar f (a).
x→a

b) Si l´ım f (x) existe entonces a ∈ Dom(f ).
x→a

c) Si a ∈ Dom(f ) entonces l´ım f (x) existe.
x→a

1
no existe.
d) Si f (a) = 0, entonces l´ım
x→a f (x)
e) Si l´ım f (x) = 1 entonces f (0,001) est´a m´as cerca
x→0

a 1, que f (0,01).
f) Si l´ım+ f (x) = l´ım− f (x) entonces
x→a

x→a

existe.
g) Si l´ım f (x)
x→a

existe,

entoncesl´ım f (x)

x→a

l´ım f (x)

x→a+

y

l´ım f (x) existen.

x→a−

h) Si l´ım f (x) no existe y pero l´ım g(x) si existe,
x→a

x→a

entonces l´ım g(x)f (x) no existe.

a) l´ım

θ→0

1 − cos θ
sen θ
, b) l´ım
, c)
θ→0
θ
θ

l´ım xx ,

x→0+

ln x
eh − 1
, e) l´ım
, f) l´ım (1 + x)1/x
x→0
x→1 1 − x
h→0
h

d) l´ım

7. Calcule los siguientes l´ımites y explique el resultado.
x
x2
x
|x|
, b) l´ım
, c)l´ım+ 3 , d) l´ım
,
x→0 x
x→0 x
x→0 x
x→0 x
√
√
√
x
x
x− x
√
,
e) l´ım
, f) l´ım
, g) l´ım
x→0 x − x
x
x→0− x
x→0+

a) l´ım

x→a

i) Si ni g ni f tienen l´ımite cuando x tiende a a,
entonces l´ım (g(x) + f (x)) no existe.
x→a

8. A continuaci´on se muestra la gr´afica de la funci´
on g.
Resuelva los l´ımites indicados.

j) Si l´ım f (x) y l´ım g(x) existen, pero l´ım g(x) = 0,
x→a

x→a

x→a

f (x)entonces l´ım
no existe.
x→a g(x)

y

Para los siguientes enunciados, suponga que
l´ım f (x) = 7.
x→3

x

k) Si x ≈ 3, entonces f (x) ≈ 7.
l) l´ım (xf (x)) = 21.

g

x→3

m) Si g(3) = 4, entonces l´ım (f (x)g(x)) = 28.
x→3

n) Si l´ım (f (x) + g(x)) = 12 entonces l´ım g(x) = 5.
x→3

x→3

n
˜) |f (2,99) − 7| < |f (2,9) − 7|.
o) Debe existir un n´
umero positivo t tal que si x ∈
(3 − t, 3 + t), entoncesf (x) es aproximadamente
igual a 7 con una precisi´
on de al menos 6 decimales.

a) l´ım g(x), b)
x→−2

l´ım g(x), c)

x→−1+

l´ım g(x),

x→−1−

d) l´ım g(x), e) l´ım g(x), f) l´ım g(x), g) l´ım g(x),
x→0

x→2

x→4+

x→4

9. En la siguiente gr´afica se muestran las funciones f y g.

g(x)

f(x)

0

-3

-6

x3 − 3x + 2
x→1 x4 − 4x + 3
1
3
c)
d) l´ım
−
x→1 1 − x
1 − x3
√
3− 5+x
√
e)
f ) l´ım
x→4 1−
5−x
√
√
3
2
x−8
x −23x+1
g) l´ım √
h)
l´
ım
x→8 3 x − 2
x→3
(x − 1)2
x
1 − cos(4x)
i) l´ım
j) l´ım
x→0 sen x
x→0
2x
1
−
x2
k) l´ım (1 − x) tan( 12 πx) l) l´ım
x→0 sen(πx)
x→1
tan x − sin x
m) l´ım x2 ecos(π/x)
n) l´ım
x→0
x→0
x3
1
1
o) l´ım −
p) l´ım x cos(xx )
x→0 x
x→0
|x|
sin(10x)
tan(πx)
q) l´ım
r) l´ım
x→0 sin(4x)
x→1 x − 1
a)

2

-7

11. Calcule cada uno de los siguientes l´ımites. Antes deusar
´algebra, use su calculadora para estimar el resultado.

3

6

8

x

-2

-5

Evalu´e (cuando sea posible) los l´ımites de f (x), g(x),
f (x)g(x), f (x)/g(x) y g(x)/f (x) cuando x tiende a
−7, −6, −3, 0, 3, 6 y 8 por la derecha y por la izquierda.
10. En la figura se muestran las funciones f , h y g. Calcule
los siguientes l´ımites:

1

f

x2 − 4
− 3x + 2
x3 − 1
l´ım
x→1 x2 − 1
x−8...