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Guía de Ejercicios de Cadenas de Markov en Tiempo Discreto

Recopilación de Problemas preparado por Denis Sauré

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1.

Problemas de Cadenas de Markov en Tiempo Discreto

1. En la ciudad de Santiago diariamente se liberan contaminantes a la atm´sfera, provenientes prino cipalmente del uso de veh´ ıculos y de plantas industriales. La autoridad correspondiente monitorea diariamente lacalidad del aire en la ciudad, y seg´n la concentraci´n de contaminantes distingue 3 esu o tados de alerta ambiental: Normal (N), Pre-emergencia (P) y Emergencia (E). Se ha podido determinar que la evoluci´n del estado de alerta obedece a una cadena de Markov. o Por simplicidad asumiremos que las probabilidades de transici´n dependen s´lo del n´ mero de veh´ o o u ıculos que circulan por las callesde Santiago cada d´ (las plantas industriales pueden ser modeladas como un ıa conjunto de veh´ ıculos). Si en un d´ Normal circulan por Santiago y veh´ ıa ıculos entonces la probabilidad que el d´ siguiente sea tambi´n Normal vale 1 − F (y), y la probabilidad que el d´ siguiente sea de ıa e ıa Pre-Emergencia es F (y). Si en un d´ de Pre-Emergencia circulan y veh´ ıa ıculos entonces el d´ siguienteıa ser´ Normal con probabilidad 1−F (y) o Emergencia con probabilidad F (y). Si en un d´ de Emergencia a ıa circulan y veh´ ıculos entonces el d´ siguiente puede repetirse el estado de emergencia, lo que ocurre con ıa probabilidad F (y), o bien pasar a estado de Pre-Emergencia, con probabilidad 1 − F (y). La funci´n F o es continua, estrictamente creciente, F (0) = 0, F (∞) = 1. La autoridad hatomado las siguientes medidas para combatir la contaminaci´n: en los d´ de Preo ıas emergencia se proh´ circular a una fracci´n 1 − α de los veh´ ıbe o ıculos de Santiago. En los d´ de ıas Emergencia la medida se hace m´s dr´stica, prohibi´ndose la circulaci´n de una fracci´n 1 − β de los a a e o o veh´ ıculos de la ciudad (β < α)). En lo que sigue asuma que en Santiago hay un parque vehicular de xveh´ ıculos y que cada d´ salen a ıa ıbe. circular todos aquellos a los que la autoridad no se los proh´ Muestre el grafo asociado a la cadena de Markov que describe la evoluci´n del estado de alerta o ambiental en Santiago. Justifique la existencia de probabilidades estacionarias y calc´ lelas. u b) Suponga que Ud. posee un autom´vil. En promedio, ¿qu´ fracci´n de los d´ del a˜ o puede usar su oe o ıas n autom´vil para desplazarse por Santiago?. Asuma que cuando la autoridad proh´ el uso de una o ıbe parte de los veh´ ıculos lo hace a de manera que todos los veh´ ıculos tienen la misma probabilidad de ser afectados por la medida. c) Suponga que por cada veh´ ıculo que deja de circular el ingreso per c´pita para los habitantes de a Santiago se reduce en A [$] (asociado a una ca´ en laproducci´n, y tambi´n a mayores incomodiıda o e dades y costos de transporte por menor disponibilidad de veh´ ıculos tanto para transporte p´blico u como privado). Adem´s, por cada d´ que respira el aire de Santiago en estado de Pre-emergencia a ıa o Emergencia una persona percibe un empeoramiento de su salud que se puede cuantificar en B [$] y C [$] respectivamente. Formule el problema que deberesolver el gobierno para escoger α y β. d ) Ud. est´ evaluando la posibilidad de comprar un segundo auto. En caso de comprarlo, ¿qu´ fracci´n a e o de los d´ del a˜ o podr´ usar alguno de sus autom´viles para desplazarse por Santiago?. Asuma ıas n a o que agregar ese veh´ ıculo tiene un efecto despreciable sobre las probabilidades calculadas en los puntos anteriores (el parque vehicular es muygrande). e) Suponga ahora que muchas personas compran un segundo auto, de manera de usar auto para desplazarse mientras uno de los dos que poseen tenga permiso para circular, y asuma que cuando usan uno de sus autos dejan el otro estacionado en sus respectivas casas. ¿Vale para cada una de estas personas el resultado calculado en el punto anterior?. Indique d´nde se deber´ hacer o ıan cambios al modelo...
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