Coagulación

Matriz inversa. Cálculo y aplicaciones

MATRIZ INVERSA
A la matriz que verifica la siguiente propiedad : A-1·A = A·A-1 = I ,se llama matriz inversa de una matriz cuadrada  An  y la representamospor  A-1.
PROPIEDADES :








Sólo existe matriz inversa de una matriz cuadrada si ésta es regular (propiedad 2), es decir, si el determinante es distinto de cero.
La matriz inversa deuna matriz cuadrada, si existe, es única.
Entre matrices NO existe la operación de división, la matriz inversa realiza funciones análogas.

MÉTODOS PARA HALLAR LA MATRIZ INVERSA :
Aplicando ladefinición
Por el método de Gauss
Por determinantes
Matriz inversa. Cálculo y aplicaciones
POR METODO DE GAUSS-JORDAN
El método de Gauss-Jordan procede como sigue:
Es decir, en una matrizcomenzamos por escribir la matriz A, y a su derecha agregamos la matriz identidad del mismo orden que la matriz A; enseguida aplicamos el método de Gauss-Jordan para hacer los ceros y unos y obtenerdel lado izquierdo la matriz identidad . Del lado derecho lo que obtendremos será la matriz inversa de A.  
Ejemplo 1.   Usar el método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de lasiguiente matriz:


Solución.   En una matriz, colocamos la matriz A y a su derecha agregamos la matriz identidad :


El primer elemento pivote está bien colocado y procedemos a hacer ceros debajo deeste elemento. Para ello, multiplicamos el renglón 1 por y lo sumamos al renglón 2. Esto nos da:


Nuestro segundo elemento pivote es . Para hacer ceros arriba de este elemento, multiplicamosel renglón 2 por y lo sumamos al renglón 1. Esto nos da:


Finalmente, hacemos los 1’s en la diagonal principal. Para ello, multiplicamos el renglón 1 por y el renglón 2 por. Esto nos da lamatriz final:


Por lo tanto, concluímos que la matriz inversa de A es:
Matriz inversa. Cálculo y aplicaciones

POR DETERMINANTES (propiedad 7):
Matriz traspuesta.
Es la matriz que obtenemos...