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Teoría de conjuntos


Hipótesis del continuo. La colección de todos los conjuntos de números naturales P(N) tiene la llamada potencia del continuo: tantos elementos como (por ejemplo) puntos enuna recta. Su estudio es uno de los principales problemas en la teoría de conjuntos.
La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos: coleccionesabstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.1
Sin embargo,la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas:números, funciones, figuras geométricas, ...; y junto con lalógica permite estudiar los fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.
Además, la propiateoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que sepresenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en granmedida en la lógica matemática.
El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas «puras» del infinito en la segunda mitaddel siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influenciado por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana, de conjuntos, formalizada por GottlobFrege, propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios del siglo XX.
Índice
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• 1 Teoría básica de conjuntos
o 1.1 Álgebra de conjuntos
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