Colisiones Por Ondas Estacionarias

Introducción:
En el siguiente trabajo se desarrollarán los conceptos necesarios para entender el colapso estructural por ondas estacionarias, léase, las nociones de onda estacionaria y resonancia, y se especificarán las ecuaciones pertinentes a cada concepto. Previo a esto se dará una breve definición de los términos:
Onda estacionaria: son aquellas ondas en las cuales, ciertos puntos de laonda llamados nodos, permanecen inmóviles. Se forma por la interferencia de dos ondas de la misma naturaleza con igual amplitud, longitud de onda (o frecuencia) que avanzan en sentido opuesto a través de un medio.
Resonancia: Se refiere a un conjunto de fenómenos relacionados con los movimientos periódicos o cuasi-periódicos en que se produce reforzamiento de una oscilación al someter el sistema aoscilaciones de una frecuencia determinada. En mecánica, la resonancia mecánica de una estructura o cuerpo es el aumento en la amplitud del movimiento de un sistema debido a la aplicación de fuerza pequeña en fase con el movimiento.
Luego se proporcionarán ejemplos significativos de estructuras que se han derrumbado a causa de estos fenómenos físicos para ilustrar los conceptos y ayudar al lectora comprenderlos.

Para explicar el concepto de onda estacionaria comenzamos planteando el sistema masa-resorte.
El movimiento de una masa unida a un muelle obedece a la ecuación diferencial de Hooke:
F= -kx (1)

Como solución a la ecuación diferencial, se obtiene la siguiente ecuación de movimiento periódico:
yt= Asenω(t-t0)- φ (2)

Si consideramos t0=0 , la ecuación queda:yt= Asenωt- φ (3)

A partir de la ecuación obtenida (2) y considerando t0=xv procedemos a plantear dos ecuaciones, una de ellas de sentido opuesto y desfasada un π de la otra,
1) yt,x= Asenωt+xv
2) yt,x= Asenωt-xv + π
Al sumar y desarrollar ambas ecuaciones con la ayuda de la siguiente identidad:
sena±b= senacosb±senbcos⁡(a)
Se obtiene la siguiente ecuación de SUPERPOSICIÓN deondas:
yt,x= 2Acos ωtsenωxv (4)
Considerando a “t=t0” y analizando el seno de la función obtenemos que la misma se hace cero cuando
ωxv =kπ (∀ k∈Z)
Sabiendo que:
ω=2πf y v=λf

Se obtiene:
x=kλ2

Por lo tanto, esta ecuación indica que cada medio λ podemos encontrar un NODO, Los puntos donde la amplitud es máxima se denominan ANTINODOS. De esta manera sededuce que la ecuación resultante de la superposición es una ONDA ESTACIONARIA.
Considérese una cuerda de longitud L que está fija en ambos extremos, como en la figura 1a. En una Cuerda podemos iniciar formas de onda estacionaria de muchas frecuencias, es decir, cuantos más lazos, mayor es la frecuencia. Tres de estos se ven en las figuras 1b, 1c y 1d. Cada uno tiene una frecuencia característica,que a continuación vamos a calcular.
Primero, observe que los extremos de la cuerda deben ser los nodos porque estos puntos están fijos. Si la cuerda s desplaza en su punto medio y se suelta, se puede producir la vibración que se ilustra en la figura 1b, en cuyo caso el centro de la cuerda es un antinodo. En el caos de esta forma de onda estacionaria, la longitud de la cuerda es igual a λ2 (ladistancia entre los nodos).

Entonces,
L=λ12 o 2L=λ1

Y la frecuencia de esta vibración es

f1=vλ1=v2L (4)

Figura 1. (a) Ondas estacionarias en una cuerda estirada de longitud L. Las frecuencias características de vibración forman una seria armoónica; (b) frecuencia fundamental, primera armónica; (c) segunda armónica; (d) tercera armónica



Por laecuación de onda en una cuerda sabemos que v=Tρ donde ρ es la masa por unidad de longitud de la cuerda y T es la fuerza de tensión en la misma.
Entonces, podemos expresar la ecuación (4) como

f1=12LTρ (5)

Ésta es la frecuencia más baja de vibración y se denomina frecuencia fundamental de la cuerda en vibración.
La siguiente frecuencia natural de vibración ocurre cuando la...