combinacion lineal

Combinación Lineal

Demos ahora la definición de combinación lineal:

Sean ~v1, ~v2,. . ., ~vk, vectores n y sean c1, c2,. . ., ck escalares. El vector de la forma
c1~v1 + c2~v2 + ・ ・ ・ + ck~vkSe llama combinación lineal de ~v1, ~v2, . . . , ~vk. Los escalares c1, c2, . . ., ck se llaman coeficientes de la combinación
Lineal.

Ejemplo:

Determinar si  es combinación lineal de losvectores  en  

Demostración: Tenemos que determinar  tal que
(1;2;1) = a(1;2;1)+b(1;1;2)+c(1;2;3)
(1;2;1) = (a+b+c;2a+b+2c;a2b+3c) es decir, 

Determinando la matriz del sistema tenemos, Luego el sistema tiene solución, es decir, 

Por lo tanto  es combinación lineal de los
Vectores  

Nota

Es conveniente observar, por el trabajo que pude ahorrar, cómo se forma la matrizaumentada del sistema directamente de los datos.

La matriz de coeficientes se forma con los vectores que se deben combinar. Estos entran como columnas en orden de aparición.


El vector de constanteses el vector que uno se pregunta si es combinación lineal de los vectores dados.

Si acaso el sistema formado es consistente, el vector sí es combinación lineal de los vectores dados. Si el sistemaes inconsistente, el vector no es combinación lineal.

Independencia Lineal.

Definición de independencia lineal. Considere un espacio vectorial V sobre un campo K y sea
S = {~v1, ~v2, . . . ,~vn} un conjunto finito de vectores del espacio vectorial. El conjunto S se dice que es linealmente dependiente sobre el campo K si existen escalares c1, c2, . . . , cn ∈ K no todos iguales a 0 tal quec1~v1 + c2~v2 + ・ ・ ・ + cn~vn = ~0. (1)
En caso contrario; es decir, si los únicos escalares c1, c2, . . . , cn ∈ K que satisfacen la ecuación (1) son c1 = c2 = ・ ・ ・ = cn = 0,

Entonces el conjuntoS se dice que es linealmente independiente sobre el campo K.

En otras palabras, él conjunto S es linealmente independiente si la única combinación lineal de los vectores de S que es igual al...