combinacion lineal

Álgebra Lineal - Espacios Vectoriales

Combinación lineal

Independencia lineal

2012

Cuando se aplica la suma de vectores y la
multiplicación por un escalar a un conjunto de
vectores, serealiza una combinación lineal. Es decir,
la combinación lineal es una expresión del tipo

Un conjunto es linealmente independiente si no existen combinaciones lineales entre sus
vectores; esdecir, cada vector existe por sí mismo dentro del conjunto.
En otra forma, si al combinar linealmente los elementos del conjunto en la forma

Por lo tanto, un vector 𝑥̅ cualquiera se puede obtener apartir de otros.

todos los escalares 𝛼 𝑖 son nulos, entonces el conjunto {𝑣̅1 , 𝑣̅2 , 𝑣̅3 , … , 𝑣̅ 𝑛 } es linealmente
independiente. En otro caso los vectores serán linealmente dependientes.

�𝛼1 𝑣̅1 + 𝛼2 𝑣̅2 + 𝛼3 𝑣̅3 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑣̅ 𝑛 = 0

𝛼1 𝑣̅1 + 𝛼2 𝑣̅2 + 𝛼3 𝑣̅3 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑣̅ 𝑛 = 𝑥̅

EJEMPLO. Sea un bloque sostenido por dos cuerdas
sobre un plano inclinado donde no hay rozamiento. elsistema está en reposo.

1

2

� 𝐹
Las fuerzas que actúan sobre el bloque (𝐹1 , �2 y � ) son
𝑊
elementos de un espacio vectorial. Como el sistema está
en equilibrio estático, la resultante de lasuma de fuerzas
es el vector nulo; es decir

lo cual es una combinación lineal de fuerzas. Tomando las fuerzas �1 = �−2√3, 2� [𝑁] y la
𝐹
masa del bloque es 1. 223 [𝑘𝑔], calcula el valor de lafuerza en la cuerda 2.

Tomando la dirección de la aceleración debida a la gravedad como 𝑔̅ = (0, −9.81) � 2�, la
�1 + �2 + � = 0
𝐹
𝐹
𝑊 �
�
�2 = −𝐹1 − 𝑚𝑔̅
𝐹

dónde �2 es una combinación linealde �1 y 𝑔̅ .
𝐹
𝐹

�2 = −�−2√3, 2� − 1.223(0, −9.81)
𝐹
𝐹
= �2√3, −2 + 12� ⇒ �2 = �2√3, 10� [𝑁]

que es el resultado buscado a partir combinaciones lineales.
1

Elaboró: Ing. Aldo JiménezArteaga

𝐵 = {𝑥 2 + 𝑥 + 1, −2𝑥 2 + 2, 𝑥 2 + 3𝑥 + 5}.

Si al plantear la combinación lineal entre los elementos del conjunto se obtiene una solución
trivial, el conjunto es independiente; en...