Combinación lineal

Introducción:
En la siguiente investigación se introduce uno de los conceptos más importantes de algebra lineal: el de Combinación lineal entre vectores. Se establece la relación entre el problemade resolver un sistema de ecuaciones lineales y el problema de determinar si un vector es combinación lineal de Un conjunto de vectores. El resultado clave indica que es equivalente buscar lasolución a un sistema de ecuaciones lineales que determinar los valores de los coeficientes que multiplicando cada una de las columnas de la matriz de coeficientes y sumando los vectores resultantes da comoresultado el vector de constantes del sistema.
Objetivos:
Combinación Lineal:
Dados dos vectores u⃗  y v⃗  denotamos combinación lineal de u⃗  y v⃗  a cualquier expresión de laforma: λu⃗ +μv⃗  donde λ y μson números reales.
Un vector w⃗  es combinación lineal de u⃗  y v⃗  si existen números reales (escalares) λ y μ que permitan expresar w⃗  de la forma: w⃗ =λu⃗ +μv⃗ .Los vectores con los que hemostratado hasta ahora son vectores en el plano, es decir, tienen dos componentes. En este caso podemos expresar cualquier vector w⃗  como combinación lineal de dos vectores u⃗  y v⃗  no paralelos. Estacombinación es única.

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos que tengan distinta dirección. (O que sean linealmente independientes)

Ejemplos:
1. Dados los vectores,hallar el vector combinación lineal

2. ¿El vector w⃗ = (−1,3) se puede expresar como combinación lineal de u⃗ = (1,2) y v⃗ = (0,3)?
Queremos encontrar λ y μ de manera que w⃗ =λu⃗ +μv⃗. Tenemos:(−1,3)=λ (1,2)+μ (0,3)= (λ, 2λ)+ (0,3μ)= (λ, 2λ+3μ)
De manera que:
−13==λ2λ+3μ} ⇒λ=−1, μ=53
Acabamos de encontrar unos valores para λ y μ para los que se cumple w⃗ =λu⃗ +μv⃗. Así pues, sí que podemosexpresar w⃗ = (−1,3) como combinación lineal de u⃗ = (1,2) y v⃗ = (0,3).
Independencia Lineal:
Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito...