Como Resolver Problemas

¿Cómo resolver problemas matemáticos?[1]

“Resolver un problema es hacer un descubrimiento. Un gran problema significa un gran descubrimiento, pero hay una partícula de descubrimiento en la solución de cualquier problema. El suyo puede ser modesto, pero si pone a prueba la curiosidad que induce a poner en juego las facultades inventivas, y si lo resuelve por medios propios, puede experimentarla tensión y el encanto del descubrimiento y el goce del triunfo."
George Pólya

La metodología de Pólya

En 1945 el insigne matemático y educador George Polya (1887-1985) publicó un libro que rápidamente se convertiría en un clásico: How to solveit. En el mismo propone una metodología en cuatro etapas para resolver problemas. A cada etapa le asocia una serie de preguntas y sugerencias queaplicadas adecuadamente ayudarán a resolver el problema. Las cuatro etapas y las preguntas a ellas asociadas se detallan a continuación:

Etapa I: Comprensión del problema.
¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos? ¿Cuál es la condición?
¿Es la condición suficiente para determinar la incógnita? ¿Es insuficiente? ¿Redundante? ¿Contradictoria?

Etapa II: Concepción de un plan.
¿Seha encontrado con un problema semejante? ¿Ha visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente?
¿Conoce un problema relacionado con éste? ¿Conoce algún teorema que le pueda ser útil? Mire atentamente la incógnita y trate de recordar un problema que le sea familiar y que tenga la misma incógnita o una incógnita similar.
He aquí un problema relacionado con el suyo y que se haresuelto ya. ¿Podría utilizarlo? ¿Podría emplear su resultado? ¿Podría utilizar su método? ¿Podría utilizarlo introduciendo algún elemento auxiliar?
¿Podría enunciar el problema en otra forma? ¿Podría plantearlo en forma diferente nuevamente? Refiérase a las definiciones.
Si no puede resolver el problema propuesto, trate de resolver primero algún problema similar. ¿Podría imaginarse unproblema análogo un tanto más accesible? ¿Un problema más general? ¿Un problema más particular? ¿Un problema análogo? ¿Puede resolver una parte del problema? Considere sólo una parte de la condición; descarte la otra parte; ¿en qué medida la incógnita queda ahora determinada? ¿en qué forma puede variar? ¿Puede usted deducir algún elemento útil de los datos? ¿Puede pensar en algunos otros datosapropiados para determinar la incógnita? ¿Puede cambiar la incógnita? ¿Puede cambiar la incógnita o los datos, o ambos si es necesario, de tal forma que la nueva incógnita y los nuevos datos estén más cercanos entre sí?
¿Ha empleado todos los datos? ¿Ha empleado toda la condición? ¿Ha considerado usted todas las nociones esenciales concernientes al problema?

Etapa III: Ejecución del plan.
Alejecutar el plan, compruebe cada uno de los pasos.
¿Puede ver claramente que el paso es correcto? ¿Puede demostrarlo?

Etapa IV. Visión retrospectiva.
¿Puede usted verificar el resultado? ¿Puede verificar el razonamiento?
¿Puede obtener el resultado en forma diferente? ¿Puede verlo de golpe? ¿Puede emplear el resultado o el método en algún otro problema?

La primera etapa esobviamente insoslayable: es imposible resolver un problema del cual no se comprende el enunciado. Sin embargo en nuestra práctica hemos visto a muchos estudiantes lanzarse a efectuar operaciones y aplicar fórmulas sin reflexionar siquiera un instante sobre lo que se les pide. Por ejemplo si en el problema aparece una función comienzan de inmediato a calcularle la derivada, independientemente de lo quediga el enunciado. Si el problema se plantea en un examen y luego, comentando los resultados, el profesor dice que el cálculo de la derivada no se pedía y más aún que el mismo era irrelevante para la solución del problema, algunos le responderán: ¿o sea que no nos va a dar ningún punto por haber calculado la derivada? Este tipo de respuesta revela una incomprensión absoluta de lo que es un...