compensador

COMPENSADORES DE ADELANTO Y RETARDO

1.

1

Dise˜ o de un compensador de adelanto de
n
fase
El compensador de adelanto de fase persigue el aumento del margen de

fase mediante la superposici´n de la curva de fase del diagrama de bode
o
sobre el diagrama de bode del sistema a compensar. El diagrama de bode
del compensador se sit´a de manera que el valor m´ximo de adelanto de fase
ua
(situado en la media geom´trica de las frecuencias w1 y w2 de la figura 1) se
e
encuentre donde se espera tener la frecuencia de cruce de ganancia.
Diagrama de bode de compensador de adelanto de fase
20
18
16

Magnitude (dB)

14
12
10
8
6
4
2

Phase (deg)

0
60

30

w2 = 0.1 rad/s

w1 = 1 rad/s

0
−3

10

−2

10

−1

10

wm

0

10

1

10

210

Frequency (rad/sec)

Figura 1: Diagrama de Bode de un compensador de adelanto de fase

COMPENSADORES DE ADELANTO Y RETARDO

2

El compensador de adelanto de fase tiene la forma general
Gcaf = Kc

T s+1
αT s+1

con 0 < α < 1

La frecuencia donde se alcanza el m´ximo de adelanto de fase es ωm =
a

1
√

T α
1
siendo la amplificaci´n a esta frecuencia de √ .
o
αConviene tener en cuenta que el compensador de adelanto de fase siempre

sumar´ ganancias positivas sobre el sistema original (ver figura 5), llevana
do hacia la derecha la frecuencia de cruce de ganancia. Esto originar´ que
a
el margen de fase aumente menos de lo esperado. Un adecuado dise˜o del
n
compensador supone que ωm es suficientemente mayor que las frecuencias caracter´
ısticas delsistema. De esta forma, la ganancia positiva aportada por el
a
ısticas del sistema
compensador no ser´ muy grande a las frecuencias caracter´
y el desplazamiento hacia la izquierda de la frecuencia de cruce de ganancia
no ser´ significativo. La disminuci´n del margen de fase respecto de lo espea
o
rado se compensa con un cierto margen adicional entre 5o y 12o , tal como se
ver´ en el ejemplosiguiente.
a

1.1.

Ejemplo

Ejemplo de la p´gina 624 de Ogata.
a
Para el sistema con funci´n de transferencia
o
G1 (s) =

4
s (s + 2)

se quiere dise˜ar un compensador para el sistema de modo que la constante
n

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3

de error est´tico de velocidad Kv sea de 20 s−1 , el margen de fase sea al menos
a
de 50o y el margen de ganancia sea almenos de 10 dB.
En primer lugar se obtiene la constante del compensador, comprobando
si simplemente con un controlador proporcional en bucle cerrado podr´
ıamos
cumplir con las especificaciones. Si no es as´ el valor que se obtiene de cumplir
ı,
con la especificaci´n de la constante est´tica (en este caso de velocidad) ser´ la
o
a
a
constante Kc que habr´ de tener el compensador.
a
Kv = l´ sKc G1 (s) = Kc · 2
ım
s→0

Luego Kc = 10. Con este valor, se comprueba si el sistema original junto
con esta ganancia cumple las especificaciones del margen de fase y ganancia,
para lo que se traza su diagrama de Bode (fig. 2).
Se ve que el margen de ganancia es infinito, lo que es propio de sistemas
de orden uno o dos. El margen de fase es aproximadamente 18o . La frecuencia
de cruce deganancia es 6,16 rad/s. Como esta frecuencia es suficientemente
mayor que las frecuencias caracter´
ısticas del sistema original, se supone un
a
o
margen adicional sobre el margen de fase de 5o . Si estuviera m´s pr´ximo,
habr´ que subir hasta 12o . Por tanto el margen de fase que el compensador
ıa
debe aportar es el margen de fase especificado, m´s el adicional, menos el
a
original
compesp
orig
adic
Mφ
= Mφ + Mφ − Mφ = 37o

Se puede demostrar que el valor de α para el compensador es tal que
comp
sin Mφ
=

1−α
1+α

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4

Diagrama de bode de G1(s) = 40/s/(s+2)
50

Magnitude (dB)

25

0

−25

Phase (deg)

−50
−90

−120

−150

−180
−1

10

0

1

10

2

10

10

Frequency (rad/sec)

Figura 2:...