Complementos Matematicos

COMPLEMENTOS MATEMATICOS

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1 NOTACION VECTORIAL.
Un vector es una cantidad que posee tanto magnitud como dirección. Un vector puede expresarse mediante tres componentes escalares según una terna de referencia convenientemente elegida. Los sistemas de coordenadas más comunes son el cartesiano, esférico y cilíndrico. En el sistema de coordenadas cartesianas (fig. A.1) un vector quedarepresentado por:

j ˆ donde iˆ, ˆ , k son vectores unitarios en las direcciones O x , O y , O z respectivamente.

1.1 Producto Escalar (o producto punto) de dos vectores.

r r r r El producto escalar de U y V se escribe U ⋅ V ; es un escalar igual al producto de las amplitudes r r de los dos vectores y el coseno del ángulo entre ellos. En términos de sus componentes, U ⋅ V está dado por: r r ˆ ˆˆ ˆ U ⋅ V = (U x i + U y ˆ + U z k ) o (V x i + V y ˆ + V z k ) j j r r U ⋅ V = U xV x + U yV y + U zV z
ya que

ˆ j j ˆ ˆ ˆ i ⋅ ˆ = ˆok = k oi = 0 ˆ ˆ j j ˆ ˆ i ⋅i = ˆ o ˆ = k o k =1 r r Si U ⋅V = 0 , los dos vectores deben ser perpendiculares.
1.2 Producto vectorial (o producto cruz) de dos vectores.
r r r r El producto vectorial de U y V se escribe U x V ; es un vector cuya amplitud esigual al producto de las amplitudes de los dos vectores y el seno del ángulo entre ellos, y cuya dirección es normal al r r plano que contienen a U y V . La normal positiva está dada por la regla del tirabuzón o de la mano derecha, partiendo el movimiento de rotación del tirabuzón desde el primer vector del producto hacia el segundo (ver figura A.2).

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r r En términos de los componentesvectoriales, UxV está dado por:
r r ˆ ˆ ˆ ˆ UxV = (U x i + U y ˆ + U z k ) x(V x i + V y ˆ + V z k ) j j
r r ˆ ˆ UxV = (U yV z − U zV y )i + (U z V x − U xV z ) ˆ + (U xV y − U yV x )k j

r r UxV

=

| | |

î Ux Vx

ĵ Uy Vy

k | Uz | Vz |

1.3 Divergencia de un Vector

r Consideremos un punto rodeado de un pequeño volumen V. La componente de U normal a un elemento de la superficie Smultiplicado por el área e integrado sobre la superficie, es el flujo r normal (saliente) del vector U . La razón entre este flujo y el volumen, a medida que el volumen r r tiende a cero, se denomina la divergencia de U y se escribe ∇ ⋅ U . r Por lo tanto, ∇ ⋅ U es una cantidad escalar; es la medida del flujo saliente total de un vector por unidad de volumen

r 1 r ˆ ∇ ⋅ U = lim ( ∫ U ⋅ nds ) v →0v S
En la fig. A.3, el exceso de flujo saliente sobre el flujo entrante en el plano yz es
(U x + ∂U x ∂U x δx)δyδz − U x δyδz = δxδyδz ∂x ∂x

Considerando las otras contribuciones, se llega a que:
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r ∂U x ∂U y ∂U z ∇ ⋅U = + + ∂x ∂y ∂z

Teorema de la divergencia o de Gauss
La integral de la divergencia de un vector sobre un volumen v es igual a la integral de superficie de lacomponente normal del vector sobre la superficie que limita a v .

r r ˆ ∫ ∇ ⋅ Udv = ∫ U ⋅ nds
v S

Para demostrar este teorema, subdividimos el volumen en un gran número de pequeños elementos. Si el elemento i tiene un volumen ∆vi y está limitado por una superficie S i , tenemos:

∑∫
i

Si

r r ˆ ˆ U ⋅ nds = ∫ U ⋅ nds
S

donde en cada integral del primer miembro la normal está dirigidahacia afuera del volumen ∆vi . Como cada superficie común interior entre los volúmenes diferenciales tiene el flujo saliendo de un volumen y entrando exactamente al volumen adyacente, la contribución neta al flujo para la integral de superficie es cero para todas las superficies interiores. Contribuciones al flujo, diferentes de cero, se obtienen únicamente para aquellas superficies que limitan lasuperficie exterior S de v . El teorema de la divergencia se obtiene haciendo que el número de elementos tienda a infinito de modo que ∆vi → 0 . En estas condiciones:

r r  1  ˆ ˆ U ⋅ nds = lim ∑  U ⋅ nds ∆vi ∫S ∫Si ∆vi → 0 i  ∆v i 
y en el límite la sumatoria se transforma en integral de volumen sobre v y la razón entre la integral r sobre S i y ∆vi corresponde a ∇ ⋅ U .
∴

r r ˆ U ⋅...