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UNIDAD 8

INICIACIÓN A LAS INTEGRALES

Página 206
1. Dos trenes Un Talgo y un tren de mercancías salen de la misma estación, por la misma vía y en idéntica dirección, uno tras otro, casi simultáneamente. Éstas son las gráficas TIEMPO - VELOCIDAD de ambos movimientos.
VELOCIDAD (en km/h) 120 100 80 60 40 20 TIEMPO (en horas) 1 2 3 4 TALGO MERCANCÍAS

Como podemos ver en la gráfica, elTalgo, a las dos horas, reduce su velocidad: ¿A qué puede deberse? ¿Por qué no aminora la marcha también el otro tren? A las tres horas ambos trenes modifican su marcha: el Talgo para durante breves minutos, mientras que el de mercancías va muy despacio durante media hora. Para hacernos una idea clara de estos movimientos, realicemos algunos cálculos: a) El Talgo, durante 2 h, va a 120 km/h. ¿Cuántoskilómetros recorre a esa velocidad? b) De 2 a 2 1 , el Talgo disminuye su velocidad. ¿Cuántos kilómetros reco4 rre a esa velocidad? 1

Unidad 8. Iniciación a las integrales

c) El tren de mercancías aminora la marcha a las 3 h. ¿Qué distancia ha recorrido hasta ese momento? d) ¿Qué distancia recorre el tren de mercancías durante la media hora en que va a baja velocidad? e) ¿A qué distancia dela estación de salida está esta otra en la que para el Talgo? f ) Observa que en todos los cálculos que has realizado hasta ahora se han obtenido áreas bajo las gráficas, roja o negra. Señala los recintos cuyas áreas has calculado y asigna a cada uno su área correspondiente. a) 120 · 2 = 240 km. b) A 60 km/h durante 1 de hora, recorre 60 = 15 km. 4 4 c) Ha ido a 80 km/h durante 3 horas, luego harecorrido 80 · 3 = 240 km. d) Va a 30 km/h durante 1 hora, luego recorre 30 · 1 = 15 km. 2 2 e) La parada la hace a las 3 horas; en este momento lleva recorrida una distancia de: 120 · 2 = 240 km en las dos primeras horas 60 · 1 = 15 km el siguiente cuarto de hora 4 120 · 3 = 90 km los siguientes tres cuartos de hora 4 Total: 240 + 15 + 90 = 345 km hasta llegar a la parada. f)
VELOCIDAD (km/h)120 100 80 60 40 20 Área 3 15 TIEMPO (horas) 4 Área 240 Área 90 TALGO

1 VELOCIDAD (km/h) 80 60 40 20

2

Área 240

MERCANCÍAS

Área 15 TIEMPO (horas) 1 2 3 4

Unidad 8. Iniciación a las integrales

2

Página 207
2. Consumo de energía eléctrica La gráfica nos da la potencia eléctrica que hay en funcionamiento en una vivienda, a cada instante, entre las 7 de la mañana y las 12 de lanoche.
POTENCIA (en watios) 1000

500

100 7 8 10 12 14 16 18 20 22 24

TIEMPO (en horas)

El área bajo la curva es la energía consumida: potencia × tiempo = energía. Un cuadrito equivale a 0,1 kW · h ¿Cuántos kW · h se han consumido, aproximadamente, en esas 17 horas? Hay 81,25 cuadritos, luego se han consumido: 0,1 · 81,25 = 8,125 kW · h 3. ¿Cuál es la función cuya derivada es…? Lafunción cuya derivada es 2x es ... x 2 La función cuya derivada es cos x es ... sen x La función cuya derivada es 1 – 2 √x es ... √x

Di cuál es la función cuya derivada es: a) 3x 2 f ) 7x 3 k) 5 sen x a) x 3
4 f ) 7x 4

b) x 2 g) 3x 2 + 4x 3 l) 2 x · ln 2
3 b) x 3

c) 5x 2 h) 5x 2 + 7x 3 m) 2 x
3 c) 5x 3 3 4 h) 5x + 7x 3 4

d) 4x 3 i) –sen x n) 5 · 2 x d) x 4 i) cos x n) 5 · 2x ln 2

e)x 3 j) sen x

4 e) x 4

g) x 3 + x 4 l) 2 x

j) –cos x

k) –5 cos x

m)

2x ln 2

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1. Halla una primitiva de: a) x 4
5 a) x 4 = x 5 –3 1 1 = x –4 = x =– 3 4 –3 x 3x

b) √x b)

3

c)

1 x4

d)

1

√x

c)

∫ ∫



d)

∫ ∫ ∫√ ∫
3

x 4/3 = 3 3 4 √ x = x 1/3 = √x 4/3 4 1 = x –1/2 = x 1/2 = 2 √x 1/2 x 3

Unidad 8. Iniciación a las integrales

2.Busca una primitiva de:
3

a)

√x √x

b)

√x 3 3 √x 4
6

c) √x · √x 3

3

a)

b)

c)

∫ ∫ ∫ ∫√ ∫ √ ∫√ √ ∫
3 3 3

√ x = x 1/3 – 1/2 = x –1/6 = x 5/6 = 6 √ x 5 5/6 5 √x
x 3 = x 1/6 = x 7/6 = 6 √ x 7 7/6 7 x4 x 17/6 = 6 √ x 17 x 3 = x 1/3 · x 3/2 = x 11/6 = 17/6 17
6

x ·



6

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3. Halla una primitiva de: a) f (x) = 11x 5 c) f (x) = x 4 – 3x 3 + 7x2 –...
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