Computacion

Funciones exponenciales

y logaritmicas

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Temas
• • • Funciones Exponenciales

Funciones logarítmicas

Leyes de los logarítmos

•

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

• Examen
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Funciones Exponenciales

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Esquema del capítulo
• Se estudia una nueva forma de funciones llamadas funciones exponenciales. • Las funciones exponenciales son apropiadas para modelar elcrecimiento poblacional para los seres vivos.

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Ejemplos:

f ( x)  2

x

Es una función exponencial con base 2. Veamos con la rapidez que crece:

f (3)  23  8
f (10)  210  1024

f (30)  230  1,073,741,824

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Funciones Exponenciales
La función exponencial con base a se define para todos los números reales x por:

f ( x)  a
donde

x

a  0; a  0
xEjemplos de funciones exponenciales:

f ( x)  2
Base 2

h( x)  3
Base 3

x

q( x)  10 x
Base 10

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Ejemplo 1:
Evaluación de funciones exponenciales

Sea f x   3x y evalúe lo siguiente:

a) f 2  32  9

2  2 b) f     3 3  0.4807  3

c) f

 2 3

2

 4.7288

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Ejemplo estructural
El arco Gateway en San Luis, Missouri, tiene la forma de lagráfica de una combinación de funciones exponenciales, no una parábola como pareceria. Es una función de la forma:

y  a(e  e
bx

 bx

)

Se eligió esta forma porque es óptimo para dirtibuir las fuerzas estructurales internas del arco.

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Función Exponencial Natural
La función exponencial natural es la función exponencial

f ( x)  e
e

x

con base . Es común referirse a ellacomo la función exponencial.

f ( x)  e x

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Ejemplo:
Evaluar la función exponencial
Evalúe cada expresión correcta hasta cinco decimales. Solución:

a )e 3

 20.08554

b) 2e 0.53  1.17721 c ) e 4 .8
 121.51042

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Ejemplo:
Modelo exponencial para la diseminación de un virus Una enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en una ciudad pequeña con 10,000 habitantes.Después de t días, el número de personas que ha sucumbido al virus se modela mediante la función:

10000 v(t )  0.97t 5  1245e
Contesta: a) Cuántas personas infectadas hay por el virus. (t = 0) b) Calcule el número de personas infectadas despues de un día y depués de cinco días.

c) Grafique la función y describa el comportamiento.

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Solución:
Ejemplo anterior
a) Cuántas personasinfectadas hay por el virus (t = 0).

v(t ) 

10000 10000  8 0 5  1245e 1250

8 personas tienen inicialmente la enfermedad. b) Calcule el número de personas infectadas después de un día y cinco días. (t = 1, t = 2, t = 5) Días 1 2 5 Personas infectadas 21 54 678
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Solución:
Ejemplo anterior (cont)
c) Grafique la función y describa el comportamiento.

2000

0

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Elcontagio comienza lento, luego aumenta con rapidez y luego se estabiliza cuando estan infectados cerca de 2000 personas.

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Interes compuestos
El interés compuesto se calcula mediante la fórmula

 r A(t )  P1    n
P = principal

nt

donde: A(t) = cantidad después de t años

r = tasa de interés por año n = número de veces que el interés se compone por año t = número de años

14Ejemplo
Cálculo del interés compuesto
Una suma de $1000 se invierte a una tasa de interés de 12% anualmente. Calcule las cantidades en la cuenta después de tres años si el interés se compone anualmente, cada medio año, por trimestre, mensualmente o diario. Solución: Datos P = 1000

r = 12% = 0.12
t=3

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Ejemplo
Cálculo del interés compuesto
Capitalización n Cantidad después detres años
 0.12  10001   1    0.12  10001   2    0.12  10001   4    0.12  10001   12  
1( 3)

 1404.93

Anual

1

2 ( 3)

 1418.52

Semianual

2

4 ( 3)

 1425.76
12( 3)

Trimestral

4

 1430.77
365( 3)

Mensual

12

Diaria

365

 0.12  10001    365 

 1433.24

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Interés compuesto en forma continua
• El...