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Electromagnetismo 2004

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8 - Ondas Electromagnéticas
Una de las consecuencias más revolucionarias de las ecuaciones de Maxwell es la predicción de la existencia de ondas electromagnéticas, así como que en el vacío su velocidad de propagación coincide con la observada velocidad de la luz. En este capítulo analizamos estas consecuencias y presentamos diversas aplicaciones tecnológicas delas ondas electromagnéticas.

Ondas en el vacío
Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell:
∇ • D(r, t ) = ρ (r, t ) ∇ • B (r , t ) = 0 ∂ ∇ × E(r, t ) + B(r, t ) = 0 ∂t ∂ ∇ × H(r, t ) − D(r, t ) = j(r, t ) ∂t

Gauss (campo eléctrico) Gauss (campo magnético) Faraday-Lenz Maxwell-Ampère

representan al campo electromagnético en su mayor generalidad. Estas son ecuaciones diferencialeslineales a derivadas parciales inhomogéneas con cuatro campos incógnita. Las soluciones más sencillas de las ecuaciones de Maxwell se producen para un recinto del espacio vacío y sin fuentes de campo: Si el recinto es vacío, valen las relaciones: Si no hay fuentes de campo en su interior:
 D (r , t ) = ε 0 E (r , t )   B (r , t ) = µ 0 H (r , t )  ρ (r , t ) = 0   j( r , t ) = 0

Para que existacampo electromagnético debe haber fuentes que los generen. En el presente caso consideramos que las fuentes del campo se hallan fuera del recinto de integración. Veremos en el Capítulo 10 (Radiación electromagnética) el análisis que se realiza cuando las fuentes se hallan dentro del recinto de integración. Estas hipótesis permiten pasar de cuatro campos incógnita a dos y de ecuacionesinhomogéneas a ecuaciones homogéneas. Resultan las ecuaciones: ∂ ∇ • E(r, t ) = 0 ∇ × E (r , t ) + µ 0 H (r , t ) = 0 ∂t ∂ E (r , t ) = 0 ∇ × H (r , t ) − ε 0 ∇ • H (r , t ) = 0 ∂t Podemos desacoplar estas ecuaciones diferenciales acopladas tomando el rotor de la ec. de Faraday y usando la ec. de Maxwell-Ampère:
∂H  ∂ ∂  ∂E  ∂ 2E  ∇ ×  ∇ × E + µ0  = ∇ × ∇ × E + µ0 ∇ × H = ∇ × ∇ × E + µ0  ε 0  = ∇ × ∇× E + µ 0ε 0 2 = 0 ∂t  ∂t ∂t  ∂t  ∂t 

Pero: ∇ × ∇ × E = ∇(∇ • E) − ∇ 2 E = −∇ 2 E Entonces:
∇ 2E − 1 ∂ 2E =0 c 2 ∂t 2

porque ∇ • E = 0 . con c= 1

µ 0ε 0

Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar

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Si tomamos ahora el rotor de la ec. de Maxwell-Ampère y procedemos en formasimilar, llega1 ∂2H mos a la misma ecuación para el campo magnético: ∇ 2 H − 2 =0 c ∂t 2 Por lo tanto hemos podido desacoplar las ecuaciones en cada uno de los campos incógnita, pero hemos tenido que pasar de ecuaciones de primer orden a ecuaciones de segundo orden. Las ecuaciones halladas se conocen como ecuaciones vectoriales de D´Alembert. En coordenadas cartesianas, cada componente f (r , t ) delos campos satisface la ecuación escalar:
∇2 f − 1 ∂2 f =0 c 2 ∂t 2

que es la ecuación escalar de D´Alembert hallada previamente en la

propagación de ondas en líneas de transmisión. Esta es una ecuación que describe una propagación ondulatoria, de donde se deduce que las soluciones a las ecuaciones de Maxwell en un recinto vacío sin fuentes de campo son ondas electromagnéticas. La soluciónde las ecuaciones vectoriales de onda no es sencilla, pero puede demostrarse que, al menos en los sistemas de coordenadas separables de mayor interés1 las soluciones de las ecuaciones de onda vectoriales se pueden obtener a partir de las correspondientes soluciones de las ecuaciones de onda escalares para el mismo sistema de coordenadas. Ondas planas elementales En el caso de las coordenadascartesianas, para facilitar el tratamiento matemático trabajamos con ondas planas, donde los campos dependen de una única coordenada espacial y del tiempo: E(r, t ) = E( z, t ) H (r , t ) = H( z , t ) Además, para evitar derivar versores, usaremos ondas linealmente polarizadas, donde los campos mantienen su dirección vectorial en el tiempo2: ˆ ˆ E(r, t ) = E ( z, t ) e0 H(r, t ) = H ( z , t ) h 0 ˆ ˆ...