Concavidad y Convexidad de Funciones

CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD DE FUNCIONES

Definición:
Diremos que una función es CÓNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda pordebajo de la curva.

Análogamente, diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva.

Los puntos enlos que la curvatura pasa de cóncava a convexa o viceversa se llaman PUNTOS DE INFLEXIÓN.
Puntos de inflexión
Se define un punto de inflexión como el punto en que la función pasa de ser convexa acóncava o de cóncava a convexa.
Ejemplo:
Podemos ver en el ejemplo anterior que en el punto
x = 0
(en el origen de coordenadas) la función pasa de ser cóncava a ser convexa, por lo tanto decimos quex = 0
es punto de inflexión.


Una característica de los puntos de inflexión es que son los puntos donde la función derivada tiene máximos y mínimos. Si nos fijamos, cuando nos acercamos a unpunto de inflexión la función cada vez crece más (o decrece menos), pero al sobrepasar el punto de inflexión la función empieza a crecer menos (o decrecer menos). Esto significa que justamente dondehaya un punto de inflexión la derivada tendrá un máximo o un mínimo. Consecuentemente encontraremos los puntos de inflexión buscando ceros de la segunda derivada.
Vamos a ilustrar el proceso con unejemplo para así dar una explicación simple y clara:
Ejemplo:
Consideraremos la función
f(x) = x3 − 3x

(es la función representada en la anterior gráfica).
Sabemos ya calcular los máximos y losmínimos de la función
f(x)

usando la primera derivada. La expresión de ésta es

f′(x) = 3x2 − 3


y justamente encontramos máximos y mínimos respectivamente en
x = −14
y x = 1
. Sirepresentamos la gráfica de la derivada tenemos:


Observamos que justamente donde la derivada tiene un mínimo es donde la función tiene el punto de inflexión.
Para saber qué punto es vamos a...