Conceptos basicos de geometria analitica

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La Geometría Analítica es el estudio o tratamiento analítico de la Geometría, esta se fundamenta en el uso de Sistemas de Coordenadas Rectangulares.

La Geometría Analítica es la parte de las Matemáticas que entre otras cosas resuelve algebraicamente los problemas de geometría. De esta manera se puede conocer la ecuación y poder deducir su gráfica, o también conocer la gráfica y determinar suecuación. A estos dos problemas se les conoce como Los Problemas Fundamentales de La Geometría Analítica.

Sistemas de Coordenadas

Existen dos sistemas de coordenadas: Coordenadas Rectangulares o Cartesianas y la Coordenadas Polares.

Sistema de Coordenadas Rectangulares: Este sistema está formado por dos ejes o rectas perpendiculares entre sí, generalmente uno es el eje vertical y el otroeje horizontal, que al interceptarse forman un ángulo recto y dividen el plano donde están contenidos en cuatro partes llamados cuadrantes, los cuales se enumeran en el sentido contrario a la rotación de las manecillas del reloj, como se muestra en la figura 1.

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Sobre los ejes se marcan divisiones que corresponden a los números enteros, siendo cero el punto donde se interceptan dichosejes, que recibe el nombre de Origen de las coordenadas. Considerado que cada eje es una recta numérica que contiene todos los números reales en forma creciente de izquierda a derecha en el eje horizontal y de abajo hacia arriba en el eje vertical, es decir todos los números positivos están a la derecha y arriba del origen y los negativos a la izquierda y abajo del mismo origen.

Al eje horizontalse le llama eje de las X o de las Abscisas, y al eje vertical eje de las Y o de las Ordenadas. Para la ubicación de un punto en el plano, se consideran las distancias de ese punto hacia los ejes, que se llaman coordenadas. La distancia del punto al eje X se conoce como abscisa, y la distancia al eje Y se conoce como ordenada. Las abscisas se representan por la letra x y las ordenadas por la letray, es decir que las coordenadas de un punto P son P(x, y) las cuales se anotan como parejas ordenadas entre paréntesis y separadas por una coma.

Coordenadas Cartesianas de un punto.

Sabemos que al poner en movimiento un punto generamos una recta, a su vez al poner una recta en movimiento generamos una superficie, una superficie al ponerlo en movimiento genera un volumen, por lo que se puedeconcluir que toda figura geométrica tiene como fundamento el punto.

Se utilizará por el momento el sistema de coordenadas rectangulares, y consideraremos lo siguiente: se designará con un punto fijo conocido con las coordenadas x, y con subíndices, mientras que se trate de un punto móvil o de posición desconocida sus coordenadas serán simplemente x, y.

En la figura 2 tenemos unacircunferencia de radio conocido, referida a un sistema de ejes, su centro es un punto conocido, de manera que a referirnos a él podemos decir el punto C(x1, y1), en tanto si suponemos que esta circunferencia es descrita por el extremo libre del compás, dicho extremo es un punto cuyas coordenadas cambian para cada posición, de tal forma podemos mencionarlo como M(x, y)

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Ejemplo: Trazar un sistemade coordenadas rectangulares y señalar los puntos siguientes A (4, 3), B (-1, 5), C (-3, -2), D (6, -4), y trazar además el segmento de recta que une los puntos E (-3, -1) y F (5, 6).

Solución: La localización de los puntos A, B, C y D , junto con el segmento de recta que une los puntos E y F, se muestran en la figura 3.

Distancia entre dos puntos.

Para determinar la distancia entre dospuntos de coordenadas rectangulares conocidos, sea A(x1, y1) y B(x2, y2) puntos representados en sistema de coordenadas, trazamos rectas perpendiculares al eje X de los puntos A y B estos son los segmentos: AC y BD, y el segmento EF perpendicular al eje Y. Finalmente trazamos el segmento de recta AB para obtener el triángulo ABE, ver la figura 4

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De la figura 4 tenemos que:

x1=OC ,...
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