Conceptos Básicos De Funciones Reales De Variable Real

'

$

TEMA 3 Conceptos b´sicos de a funci´ns reais dunha o e varias variables.
´ Matematicas I

& 1

%

'

$

1.

Alg´ ns conceptos topol´xicos en Rn . u o

Definici´n 1 Dados dous puntos a e b en Rn , a = (a1 , a2 , · · · , an ) e o b = (b1 , b2 , · · · , bn ), definimos a distancia eucl´ ıdea de a a b polo m´dulo do o vector diferencia e denot´mola por: a d(a, b) = ||a − b||= (a1 − b1 )2 + (a2 − b2 )2 + · · · + (an − bn )2

No caso de R (n = 1): d(a, b) = |a − b|, ∀a, b ∈ R Definici´n 2 No espazo eucl´ o ıdeo Rn , chamase b´la aberta (ou simplemente o b´la) de centro a ∈ Rn e radio ρ > 0 ´ conxunto o o B(a, ρ) = {x ∈ Rn /d(a, x) < ρ} No caso de R (n = 1) ´ un intervalo aberto: e B(a, ρ) = (a − ρ, a + ρ) ∀a, ρ ∈ R Exemplos: & Casos n = 2 e n = 3. % 2

'

$Definici´n 3 Chamase b´la pechada de centro a ∈ Rn e radio ρ > 0 o o ´ conxunto o ˜ B(a, ρ) = {x ∈ Rn /d(a, x) ≤ ρ} No caso de R (n = 1) ´ un intervalo pechado: e ˜ B(a, ρ) = [a − ρ, a + ρ] ∀a, ρ ∈ R Exemplos: Casos n = 2 e n = 3.

Definici´n 4 Chamase b´la reducida de centro a ∈ Rn e radio ρ > 0 ao o o conxunto B ∗ (a, ρ) = B(a, ρ) − {a} Daselles o nome de veci˜anzas ou entornos dun punto a ∈ Rn, ´s b´las n a o abertas de centro a (con radio ρ > 0 calquera).

& 3

%

' Definici´n 5 Sexa C un subconxunto calquera de Rn e un punto a ∈ Rn . Dise o que : a ´ un punto interior de C se existe ρ > 0 tal que B(a, ρ) ⊂ C. e a ´ un punto exterior de C se existe ρ > 0 tal que B(a, ρ) ∩ C = ∅. e a ´ un punto fronteira de C se B(a, ρ) ⊂ C e B(a, ρ) ∩ C = ∅ para todo e ρ > 0. Definici´n 6 Unconxunto C ⊂ Rn ´ aberto se todos os seus puntos son o e interiores; esto ´, se ning´n dos seus puntos fronteira ´ do conxunto. Un e u e conxunto C ⊂ Rn ´ pechado se todos os seus puntos fronteira son do conxunto. e Exemplos: Casos n = 1, n = 2 e n = 3.

$

Definici´n 7 Sexa C un subconxunto de Rn . Dise que C ´ un conxunto o e limitado se existe unha b´la na que est´ contido: o a C ⊂ Rn ´limitado :⇔ ∃B(0, ρ) / C ⊂ B(0, ρ) e & 4 %

'

$

2.

Xeometr´ das funci´ns de varias variables ıa o reais con valores reais.

Definici´n 8 En xeral,chamamos funci´n de varias variables reais a calquera o o aplicaci´n o f : D ⊂ Rn → Rp donde D ´ calquera subconxunto de Rn , ao que chamaremos dominio. e Atendendo ao valor de p, as funci´ns de varias variables podemos clasificalas en: oFunci´ns vectoriais (campos vectoriais) se p > 1. o Funci´ns escalares (campos escalares) se p = 1. o Neste curso, estamos interesados nestas ultimas; ´ dicir, ´ e f : D ⊂ Rn → R a cada punto de Rn , fac´moslle corresponder un n´mero real. e u Definici´n 9 Sexa f : D ⊂ Rn → R. Chamamos gr´fica de f ao conxunto: o a G(f ) = {(x1 , x2 , · · · , xn , xn+1 ) ∈ Rn+1 / f (x1 , x2 , · · · , xn ) = xn+1 } & 5 %' Para o caso n = 1, coa notaci´n habitual: o G(f ) = {(x, y) ∈ R2 / y = f (x)} que ´ unha curva no espazo bidimensional. e
y=|x| 3 2.5 0.5 2 1.5 1 −0.5 0.5 0 −5 0 y=exp(x) 25 20 15 10 5 0 −5 0 5 −10 0 1 2 3 0 5 5 −1 −5 0 y=ln(x) 5 −1 −5 0 5 −0.5 0 0 0.5 1 y=sen(x) 1 y=cos(x)

$

−5

Figura 1: Exemplos de gr´ficas. a & 6 %

'

$

Para o caso n = 2, coa notaci´n habitual no plano: oG(f ) = {(x, y, z) ∈ R3 / z = f (x, y)} que ´ unha superficie no espazo tridimensional. e

Figura 2: Exemplos de gr´ficas. a

& 7

%

' Como axuda ´ visualizaci´n das superficies, ´s veces ´ util determinar a a o a e´ intersecci´n de G(f ) con planos de ecuaci´n z = k con k cte. Dita intersecci´n o o o recibe o nome de traza de G(f ) no plano z = k. Logo, a traza de G(f ) no plano ´ oconxunto de puntos (x, y, k) tales que f (x, y) = k. e

$

Figura 3: Gr´fica e trazas da funci´n f (x, y) = y2 − x2 con (x, y) ∈ [−1, 1] × [−1, 1]. a o & 8 %

' Estreitamente relacionado co concepto de traza, est´ o de curva de nivel de f , a que non ´ outra cousa que a proxecci´n da traza sobre o plano z = 0. e o A idea que hai detr´s de estos conceptos ´ a de ter informaci´n tridimensional a...