Condensacion de bose-einstein

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  • Publicado : 5 de septiembre de 2010
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Desarrollo teórico de la condensación de Bose-Einstein
Sea un gas de metano degenerado (esto es, alejado de la aproximación clásica de la estadística de Maxwell-Boltzmann y, por tanto, donde tienerelevancia la distinción entre fermiones y bosones). Consideramos que los únicos grados de libertad son traslacionales.

El número medio de partículas en un estado cuántico r (o número de ocupación)viene dado por:

[1]
Donde siendo kB la constante de Boltzmann.

Esta función vale infinito cuando el argumento de la exponencial vale cero y cae rápidamente. Esto es debido a que los bosonesno cumplen el principio de exclusión de Pauli y por tanto puede haber infinidad de ellos en el mismo estado cuántico individual.

Si el sistema tiene N partículas, entonces debe cumplirse que la sumade todas las partículas que se encuentren en cada estado cuántico r debe dar el total.

[2]

Si el sistema es cerrado, la relación [2] nos sirve para definir el potencial químico μ.Supongamos además que el mínimo nivel de energía accesible a una partícula es . Esto es admisible ya que coincide con el menor valor de la energía que puede tener un gas de partículas con grados traslacionalesde libertad.

Esta imposición obliga a que . De no ser así, entonces habría estados cuya energía sería menor que el potencial químico y resultaría que los números medios de ocupación serían unacantidad negativa lo cual no es posible.

Supongamos que la diferencia entre dos niveles consecutivos de energía es tan pequeña que podemos cambiar el sumatorio por una integral.

Conviene separar elcálculo del número total de partículas en dos partes, una que de cuenta de aquellas cuyo valor de la energía es el propio del estado fundamental, y otro distinta de cero, estados excitados. De nohacerlo llegaríamos a una contradicción, como veremos.

El número de partículas cuya energía es distinta de cero viene dada por la siguiente expresión, donde ρ(E) es la distribución de probabilidad...
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