condiciones para una función

QUÉ CONDICIONES SE NECESITAN PARA QUE UNA FUNCIÓN SEA DERIVABLE?
La función puede ser derivada en un punto, esto tiene que ver con la existencia de cierto límite, si te preguntas que pueda serderivada en todo punto de su dominio, tiene que ver con que ese límite exista en todo punto del dominio de la función, en fin, pero yo quiero compartir contigo una idea geométrica que igual y es lo quequizás estas buscando.

Primero, por lo que te han escrito algunos de los compañeros y también por lo que seguramente ya viste en algún curso de cálculo, la derivada es un número que representa lapendiente de la recta tangente a la curva (que representa la gráfica de la función) en un punto dado. La primer cosa que debemos entender es: ¿Qué es una recta tangente a una curva en un punto?

Unarespuesta es que es una recta que toca en un solo punto a la curva, pero si encuentras la derivada para una función que sea una recta, digamos y=x, la derivada da y'=1 y al ver cual es la recta tangentea la curva en un punto, digamos el (0,0) resulta que la recta tangente es la misma recta que teníamos originalmente, es decir y=x. Entonces eso de que toca en un punto no es del todo correcta,usualmente esto lo sacamos de las rectas tangentes a círculos en cuyo casi si tocan en un único punto, pero para curvas en general eso no es cierto.

Ahora si respondo a tu pregunta:

De lo anterior, siuna FUNCION ES DERIVABLE EN UN PUNTO, eso quiere decir que posee recta tangente, eso quiere decir que en ese punto se puede aproximar muy bien por una recta (la recta tangente), luego para que unafunción tenga derivada en todos los puntos de su dominio se debe ver como una curva que no tiene "picos", es decir, no tiene cambios bruscos de dirección, donde exista un cambio brusco de dirección noveríamos a la curva como una recta, por eso una función que es derivable tiene por gráfica una curva "suave", sin cambios bruscos.

Te hable de la función valor absoluto, su gráfica es como una V...