conductividad termica

Eje mplo. Una placa plana esta compuesta de dos materiales A y B. La
w
'
pared del material A tiene una generación de calor q g'' = 1.5 ⋅ 10 6 3 ,
m
k A =75 w/ mk y L A = 50 mm.. El material B no tiene generación, con
K B =150 W /mK y L B =20 mm. . La superficie interna del material A está
perfecta mente aislada y la superficie externa del material B se enfría
mediante agua con T∞ = 30 oC y h = 1000 W / m 2 K . Se pide hallar: (a) el
calor disipado, (b) la temperatura de la interfase y (c) La temperatura
má xi ma.

A

B

LA

LB

h = 1000W / m 2 K
T∞ = 30°C

aislado

k A = 75 W / mK
L A = 0.05m.
'
q g'' = 1.5 ⋅10 6W / m 3

k B = 150 W / mK
LB = 0.02 m

Tmáx

T1

T2
T∞
'
q g'

'
'
q g' = q g'' L A = 1,5 ⋅10 6

T1

LB
kB

T2

1
h

T∞W
⋅ 0,05m = 7,5 ⋅10 4 W / m 2
3
m
1

''
Rcond =

LB
m2
= 1,33 ⋅10 − 4
kB
W ⋅K

''
Rcond =

1
m2
= 1 ⋅10 −3
h
W ⋅K

''
''
'
T1 = T∞ + ( Rcond + Rconv ) ⋅ q g'

T1 = 115
Tmáx = T1 +
Tmáx

'
q g'' ⋅ L2
A

2k A
= 140°C

Conduct vidad térmica va riable, 1-D, q g = 0
'''

Análisis alternativo
Considere, el cuerpo mostrado en la figura. En ella, se da laposibilidad que el área transversal dependa de la posición radial.
Dado que se acepta que la conducción de calor es unidimensional y
'''
en atención a que no existe generación de calor interna ( q g = 0 ), se
debe satisfacer que el flujo de calor permanecerá constante.

A(r ), T (r ), K (T )

q

r1
r

r2

2

q = − K (T ) A( r )
q

dT
dr

dr
= − K (T ) dT
A(r )
r2

q∫r1

T2
dr
= − ∫T K (T ) dT
1
A( r )

Introduciendo, el concepto de Conductividad térmica media, K m

T2

Km = −
r2

q∫
r1

∫T

K (T ) dT

1

T2 − T1

T2
dr
= − ∫T K (T ) dT = K m (T1 − T2 )
1
A( r )

De manera, que el calor puede ser calculado por:

q=

K m (T1 − T2 )
r2

dr

∫ A(r )

r1

donde es posible identificar la resistencia térmica , la cualviene
expresada por:
r2

R=

placa; R =

dr

∫ A(r )
r1

Km

L
Km A
r2

cilindro; R =

dr

∫ 2πrL
r1

Km

r
ln( 2 )
r1
=
2π K m L

3

r2

esfera; R =

dr

∫ 4πr 2
r1

Km

1 1
 − 
r r 
= 1 2
4π K m

Co mo puede advertirse las expresiones de la resistencia térmica son
similares a las desarrolladas para el caso de conductividadconstante, con la excepción que ahora se introduce el concepto de
conductividad térmica media.

4

Aletas de enfriamiento.
A diferencia de la discusión planteada en la sección anterior, existen
muchas situaciones de interés practico en donde el objetivo
funda mental es incrementar el flujo de calor. Si recorda mos la ley de
Ne wton, por un instante.
q = h A (TS − T∞ )
Podría mos, inferir quesi deseamos incre mentar el flujo de calor,
debería mos incre mentar h, la diferencia de temperaturas, o bien el
área.

Precisa mente la razón de colocar aletas de enfriamiento es
incrementar el área, a efectos de au mentar la transferencia de calor.

Figura 2.17 Ejemplos de aletas

A continuación realizaremos un análisis para una aleta. En el análisis
se propone que existe estadoestacionario y que la distribución de
te mperaturas es sólo función de la coordenada x,T=T(x)

5

q = h ⋅ P ⋅ ∆x (T − T∞ )
To

q

x−

∆x
2

q

x−

∆x
2

A

∆x

L

Figura 2.18 Análisis para una aleta
Considere la aleta mostrada en la Figura 2.18, en dicho esquema se
muestra el análisis por primera ley de ter modiná mica para el volumen
de control diferencial.
El balancede calor establece:

qentra − q sale = 0
q

x−

∆x

−q

2

q

∆x
x−
2

q

∆x
x+
2

x+

∆x

− q sale = 0

2

= qx −

dq x ∆x
dx 2

= qx +

dq x ∆x
dx 2

Sustituyendo las expresiones anteriores en balance de calor se tiene:

6

−

dq x
∆x = − h P ∆x (T − T∞ )
dx

donde

dAs = P∆x
recordando,
q x = − kA

dT
dx

se obtiene la ecuación...