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Notas Docentes

Notas de programación no lineal

Elvio Accinelli

Nota Docente No. 16

Contents
1 Introducci´n o 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Rn Rn como un espacio lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . como espacio m´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 5 5 6 8 11 13 17 22 24 25 28 30 34 36 37 39 42 43 44 45 47 48 49 49 50 5254

Rn Como espacio topol´gico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Conjuntos compactos y conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Continuidad de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Conjuntos convexos y algunas de sus propiedades 2.1 2.2 Teoremas de separaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . o Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Funciones c´ncavas y cuasic´ncavas o o 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 Algunas propiedades de las funciones c´ncavas de variable real . . . . . . . . . . . o Propiedades para funciones c´ncavas de n variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . o Derivadas direccionales ysubgradientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones cuasic´ncavas y cuasiconvexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Conjuntos extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conjuntos maximizadores para funciones cuasiconvexas y cuasic´ncavas . . . . . . o

4 Ap´ndice: Funciones mitc´ncavas e o 5 Dualidad y optimizaci´n o 5.1 5.2Funcionales y conjuntos conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas duales de optimizaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o

6 Introducci´n a la programaci´n no lineal. o o 6.1 Programaci´n c´ncava. Punto silla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o

7 El teorema de Kuhn-Tucker 7.1 7.2 Teoremas previos al de Kuhn-Tucker . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema de Kuhn-Tucker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 Caracterizaci´n por las condiciones de primer orden o 8.1 Condiciones de cualificaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o

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9 Teorema de Lagrange 10 Progamaci´n cuasic´ncava o o 11 Aplicaciones 12 An´lisis de Sensibilidad a 12.1Aplicaciones a la miecroeconom´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa 12.2 Tres teoremas de la microeconom´ y el teorema de separaci´n de convexos . . . . ıa o 13 Ap´ndices e 13.1 Ap´ndice I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 13.2 Ap´ndice II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e

5963 69 72 74 75 77 77 78

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Notas de programaci´n no lineal o
Elvio Accinelli
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Prefacio
Las presentes notas no pretenden ni mucho menos sustituir la lectura de un buen libro de texto, necesidad impostergable para todo estudiante que aspire a entender con rigor y profundidad la teor´ que se desarrolla en la clase. Son m´s bien una gu´ que debe ser acompa˜ada por lecturas ıa a ıa, n m´sprofundas y por la realizaci´n de ejercicios. Como tal son escuetas y descarnadas, pretenden a o mostrar el esp´ ıritu general del curso de matem´tica y una gu´ para el estudio. a ıa La justificaci´n de la matem´tica en la econom´ es a esta altura del desarrollo de ambas o a ıa ciencias ociosa. No obstante a modo de justificaci´n para este trabajo hacemos el siguiente coo mentario. La teor´econ´mica aparece como generadora de problemas desafiantes para la matem´tica ıa o a cuya resoluci´n supone una avance para la teor´ econ´mica. Ciertamente no parece sensato juso ıa o tificar el estudio de la matem´tica en la posible resoluci´n de triviales ejercicios de matem´tica a o a disfrazados de econom´ presentados en el ap´ndice de un libro de matem´ticas para economisıa e a tas. Estas triviales...