Conjugado
Se llama conjugado de un número complejo al número complejo que se obtiene por simetría del dado respecto del eje de abscisas.
Representando el númerocomplejo a + bi y haciendo la correspondiente simetría, se tiene que su conjugado es a - bi .
Dado un número complejo, su conjugado puede representarse poniendo encima del mismo una línea horizontal.Así se escribirá:
Propiedades de los conjugados
Primera propiedad
El conjugado del conjugado de un complejo z es el propio z.
Demostración:
En efecto si z = a + bi se tiene que = a - bi , de donde, = a + bi = z
Segunda propiedad
Dados dos números complejos cualesquiera z y z' , el conjugado de su suma es igual a la sumade sus conjugados.
Esto se expresa escribiendo que
Demostración:
Tomando z = a + bi y z' = c + di , se tiene:
= a + bi y ' = c - di , con lo que + ' = (a + bi ) + (c - di )= (a + c) + (-b - d)i
Por otra parte:
y es fácil ver que esta expresión coincide con la anterior.
Tercera propiedad
El conjugado del producto de dos númeroscomplejos es igual al producto de los conjugados de dichos números:
Demostración:
Si z = a + bi y z = c + di se tiene que z · z = (ac - bd ) + (ad +bc)i , cuyo conjugado es = (ac - bd) - (ad + bc)i .
Calculando por otro lado el producto de los conjugados, resulta que
· ' = (a - bi )( c - di ) = ( ac - bd ) + ( -ad - bc) i .
El resultado esigual al anterior.
Cuarta propiedad
Los complejos que coinciden con sus conjugados son los números reales.
Demostración:
Sea un complejo a + bi que coincida con su conjugado. Estoequivale a que
a + bi = a - bi
Pero esto sólo ocurre si b = 0, es decir si a + bi es un número real.
Quinta propiedad
La suma y el producto de un complejo y su conjugado son, ambos,...
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