Conjuno Numerico

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Guía Matemática
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CONJUNTOS NUMERICOS
tutora: Jacky Moreno

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Un conjunto es una colecci´
on de objetos que se define mediante una propiedad que todos los elementos
cumplen, por ejemplo el conjunto de los colores primarios seria C = {rojo, azul, amarillo}. En particular, en esta gu´ıa estudiaremos los conjuntos num´ericos que corresponden a agrupaciones u´nicamente de
n´
umeros que cumple con algunas propiedades en com´
un.

1.

N´
umeros Naturales (N)

Los n´
umeros naturales aparecen por primera vez en el proceso natural que tuvo el ser humano de
contar y ordenar animales, comida, objetos, etc.
El conjunto de los n´
umeros naturales parte con el n´
umero 1 o la unidad, y los otros elementos se
forman a partir de la adici´
on sucesiva de unidades dela siguiente manera: 1, 1+1=2, 2+1=3, 3+1=4,
etc. En base a esto, podemos decir que el conjunto de los n´
umeros naturales es ordenado y posee infinitos
elementos.
El conjunto se designa con la letra N y se puede representar sobre la recta num´erica como se muestra
a continuaci´on:

N = {1, 2, 3, 4, 5, ..., ∞}

1.1.

Algunas propiedades de los n´
umeros naturales

Giuseppe Peano, matem´
aticoitaliano, fue el creador del sistema axiom´atico del cual deriva la aritm´etica de los n´
umeros naturales, en este caso resulta conveniente acudir a sus axiomas para conocer algunas
propiedades que cumplen estos n´
umeros:
Axiomas de Peano
1 es un n´
umero.
El sucesor inmediato de un n´
umero
tambi´en es un n´
umero.
1 no es el sucesor inmediato de
ning´
un n´
umero.
Dos n´
umeros distintos no tienenel
mismo sucesor inmediato.
Toda propiedad perteneciente a 1 y
al sucesor inmediato de todo n´
umero que tambi´en tenga esa propiedad
pertenece a todos los n´
umeros.

Versi´
on actual de los axiomas de Peano
1 es un n´
umero natural, por lo tanto el conjunto
de los n´
umeros naturales no es vac´ıo.
Si a es un n´
umero natural, entonces el sucesor de
a, es decir, a + 1, tambi´en es un n´
umeronatural.
1 no es sucesor de ning´
un n´
umero natural, por
lo tanto corresponde al primer elemento del conjunto num´erico de los naturales.
Si los sucesores de dos n´
umeros naturales a y b
son distintos, entonces los n´
umeros naturales a
y b son distintos.
Si un conjunto de n´
umeros naturales contiene al
1 y a los sucesores de cada uno de sus elementos,
entonces contiene a todos los n´
umerosnaturales
(Axioma de inducci´on matem´atica).

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1.2.

Algunos subconjuntos importantes de N

1.2.1.

N´
umeros Pares

Los n´
umeros pares es un conjunto ordenado con infinitos elementos que corresponden a los n´
umeros
naturales m´
ultiplos de dos. El conjunto se puede representar como se muestra a continuaci´on:
P ares = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ..., ∞}
Ymatem´aticamente se puede expresar asi:
P es un n´
umero par ⇐⇒ P = 2n con n ∈ N
1.2.2.

N´
umeros Impares

Los n´
umeros impares es un conjunto ordenado con infinitos elementos los que corresponden a todos
los n´
umeros naturales que no son pares. El conjunto se puede representar como se muestra a continuaci´
on:
Impares = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ..., ∞}
Y matem´aticamente se puede expresar asi:
Ies un n´
umero impar ⇐⇒ I = 2n + 1 ´o I = 2n − 1 con n ∈ N

En base a los dos subconjuntos vistos anteriormente podemos clasificar todo n´
umero natural en par o
impar. Al operar con estos n´
umeros obtenemos las siguientes conclusiones:
P ar + P ar = P ar
Esto se debe a que cada n´
umero par lo podemos expresar de la forma 2n, donde n ∈ N, luego
tomamos dos n´
umeros pares arbitarios y lossumamos:
2n + 2m = 2(n + m)
Como n + m ∈ N tambi´en, se cumple lo propuesto en el enunciado.
Por ejemplo: 10 + 22 = 32, donde 32 = 2 · (16)
Impar + Impar = P ar
Analizamos de manera completamente an´aloga a la proposici´on anterior, tomamos dos n´
umeros
impares arbitrarios y luego los sumamos:
(2n + 1) + (2m + 1) = 2n + 2m + 2 = 2[(n + m) + 1]
N´otese que si tomamos cada n´
umero impar pero ahora de...