Conjunto de cantor

El conjunto de Cantor, llamado por ser aporte de Georg Cantor1 en 1883, es un destacado subconjunto fractal del intervalo real [0, 1], que admite dos definiciones equivalentes:
la definición numérica: es el conjunto de todos los puntos del intervalo real [0,1] que admiten una expresión en base 3 que no utilice el dígito 1.
 la definición geométrica, decarácter recursivo, que elimina en cada paso el segmento abierto correspondiente al tercio central de cada intervalo.
Además de una curiosidad matemática, contradice una intuiciónrelativa al tamaño de objetos geométricos: es un conjunto de medida nula, pero no es vacío ni numerable.2
Lo que Cantor no sabía era que este conjunto ya había sido estudiado en1875 por un matemático dublinés, Henry John Stephen Smith (1826-1883). Pero como Smith falleció y su descubrimiento era prácticamente desconocido, fue Cantor el que quedo asociado aeste conjunto
Construcción geométrica
Se construye de modo recursivo dando los siguientes pasos:
 El primer paso es tomar el intervalo [0, 1].
 El segundo paso es quitarle sutercio interior, es decir el intervalo abierto (1/3; 2/3).
 El tercero es quitar a los dos segmentos restantes sus respectivos tercios interiores, es decir los intervalos abiertos(1/9; 2/9) y (7/9; 8/9).
 Los pasos siguientes son idénticos: quitar el tercio de todos los intervalos que quedan. El proceso no tiene fin.
La figura muestra las siete primerasetapas:


El conjunto de Cantor es el conjunto de los puntos restantes: entre ellos, es claro que los extremos de cada subintervalo pertenecen 0 y 1, 1/3 y 2/3, 1/9, 2/9, 7/9 y8/9, 1/27..., hay una infinidad de puntos: los 1/3n están todos incluidos, con n describiendo los naturales. Pero hay mucho más, por ejemplo 1/4 es un elemento del conjunto de Cantor.