CONJUNTO DE NUMEROS REALES

CONJUNTO DE NUMEROS REALES
La unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los números reales. .  

El conjunto de los reales, con el orden inducido por el orden ya visto en,  ,   y   es un conjunto totalmente ordenado.

Teniendo eso en cuenta, se puede representar gráficamente el conjunto de los reales con una recta, en la que cada punto representa un número.Muchas de las propiedades que hemos visto para los conjuntos   e  son heredadas por.

Como ya se ha visto,   es denso en  . También   es denso en  .

Podemos considerar   como el conjunto de todos los límites de sucesiones cuyos términos son números racionales.

A diferencia de lo visto para, ,  y  , el conjunto de los reales no es numerable. (una demostración).

Los números realesEl conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por .

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo, y la división por cero.
La recta real
A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.

Representación de losnúmeros reales
Los números reales pueden ser representados en la recta con tanta aproximación como queramos, pero hay casos en los que podemos representarlos de forma exacta.






Suma de números reales
Propiedades: 
1 Interna:
El resultado de sumar dos números reales es otro número real.
a + b  
 +   
2 Asociativa:
El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
(a + b) +c = a + (b + c) ·

3 Conmutativa:
El orden de los sumandos no varía la suma.
a + b = b + a

4 Elemento neutro:
El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.
a + 0 = a
 + 0 = 
5 Elemento opuesto:
Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.
e − e = 0
El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.−(−) = 
Diferencia de números reales
La diferencia de dos números reales se define como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo.
a − b = a + (−b)
Producto de números reales
La regla de los signos del producto de los números enteros y racionales se sigue manteniendo con los números reales.

Propiedades: 
1 Interna:
El resultado de multiplicar dos números reales es otro númeroreal.
a · b  
2 Asociativa:
El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números reales cualesquiera, se cumple que:
(a · b) · c = a · (b · c)
(e ·  ) ·  = e · ( ·)
3 Conmutativa:
El orden de los factores no varía el producto.
a · b = b · a

4 Elemento neutro:
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo número multiplicado por él da el mismonúmero.
a ·1 = a
 · 1 =
5 Elemento opuesto:
Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.


6 Distributiva:
El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.
a · (b + c) = a · b + a · c
 · (e + ) =  · e +  · 
7 Sacar factor común:
Es el proceso inverso a la propiedaddistributiva.
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.
a · b + a · c = a · (b + c)
 · e + ·  =  · (e + )
División de números reales
La división de dos números reales se define como el producto del dividendo por el inverso del divisor.
 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

El conjunto de los números reales está constituido pordiferentes clases de números. Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes 6 conjuntos: 
1.2.1. Conjunto de los números naturales. 
El conjunto de los números naturales, que se denota por N ó también por Z+, corrientemente se presenta asi: 
N = {1, 2, 3, 4, 5, ...} 
La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal. 
Este conjunto permite fundamentar las...