Conjuntos compactos

CONJUNTOS COMPACTOS
Denici´n. Se dice que un conjunto K es compacto si siempre que est´ contenido en la uni´n o e o

de una colecci´n g = {Gα } de conjuntos abiertos, tambi´n esta contenido en la uni´n de o e o alg´n n´mero finito de conjuntos en g. u u Una colecci´n g de conjuntos abiertos cuya o uni´n contiene a K con frecuencia se llama cuo bierta de K. De modo que el requisito para que Ksea compacto es que toda cubierta g de K se pueda sustituir por una cubierta finita g de K.

Ejemplo.- Sea k = {x1 , x2 , ..., xm } un subconjunto finito de Rn si G = {Gα } es una colecci´n o

de abiertos tal que k ⊂ {Gα } y si todo punto de k pertenece a alg´n subconjunto de {Gα } u entonces cuando m´s m subconjuntos de {Gα } ⊃ k ∴ k es un subconjunto compacto de a Rn .
Ejemplo.- Considere alsubconjunto H = {x ∈ R|x ≥ 0}. Sea Gn = (−1, n) n ∈ N de tal

manera que {Gn |n ∈ N} sea una colecci´n de subconjuntos abiertos de R cuya union o o contenga a H. Si {Gn1 , Gn2 , ..., Gnk } es una subcolecci´n finita de {Gn |n ∈ N}. Sea M = sup{n1 , n2 , ..., nk } de tal manera que Gnj ⊆ Gnk de aqui deducimos que GM es la union de {Gn1 , Gn2 , ..., Gnk }. Sin embargo el n´mero real M no pertenece aGM y por lo tanto u no pertenece a
k j=1

Gnj . En consecuencia, ninguna uni´n finita de {Gn |n ∈ N} puede o

contener a H ∴ H no es compacto
Ejemplo.- Todo recubrimiento abierto del intervalo cerrado y acotado [a, b] posee un subre-

cubrimiento finito
Demostraci´n. Sea R un recubrimiento de [a, b]. Sea S el conjunto de puntos x ∈ [a, b] o

tal que [a, x] esta cubierto por un n´merofinito de conjuntos de R queremos probar u 1

que b ∈ S. 1) S = ∅ pues [a, a] = {a} pertenece a alg´n conjunto de R u 2) S esta acotado superiormente pues S ⊂ [a, b]. Sea α = supS como S ⊂ [a, b] a ≤ α ≤ b como α ∈ [a, b] y R recubre a [a,b] existir´ A ∈ R tal que α ∈ A con ıa A abierto entonces ∃ > 0 tal que [α − , α] ⊂ A como α = supS ∃ x ∈ S tal [x, α]. Si x ∈ S el intervalo [a, α] esta

que α −≤ x < α ponemos [a, α] = [a, x]

cubierto por un n´mero finito de conjuntos de R y por otro lado [x, α] ⊂ [α − , α] u est´ cubierto por A, luego [a, α] esta cubierto por un n´mero finito de conjuntos de a u R ∴ α ∈ S. tenemos que ver que α = b suponemos que α < b como α ∈ A y A es abierto ∃ x tal que [α, x] ⊂ A y [α, x] estar´ cubierto por un n´mero finito de ıa u conjuntos de R luego x ∈ S y x > α◦

∴α=b

Proposici´n.- Demuestrese que todo intervalo cerrado [a, b] de R es compacto. o Demostraci´n. Supongamos un recubrimiento abierto [a, b] tal que no admite subreo

cubrimiento finito. Entonces tampoco existe un subrecubrimiento finito para [a, c] [c; b] con c punto medio. Sea [a1 , b1 ] = [a, c] el intervalo para el cual no existe el subrecubrimiento finito. Sea p el punto de intersecci´ny sea U el recubrimiento que contiene a p y sea o

Siguiendo esta construcci´n obtenemos una o sucesi´n de intervalos [an , bn ] ⊃ [an−1 , bn−1 ] de o longitudes [bn , an ] =
b−a 2n

tales que ninguno de

ellos admite un subrecubrimiento finito. [p − ε, p + ε] ⊂ U . Entonces existe r ∈ N tal que ∀n > r,
b−a 2n

< ε y ∀ n ≥ r [an , bn ] ⊂ U
◦

ya que

ningun [ak , bk ] admit´ unsubrecubrimiento finito. ıa

2

1 Ejemplo.- Sea H = (0, 1) en R. Si Gn = { n , 1 −

1 } n

para n > 0 entonces la colecci´n o

{Gn1 , Gn2 , ..., Gnk } es una subcolecci´n finita de {Gn |n > 2}. Sea M = sup{n1 , ..., nk } de o tal manera que Gnj ⊂ GM se ifiere que GM es la uni´n de {Gn1 , Gn2 , ..., Gnk } sin embargo o el n´mero real u
1 m

pertenece a H pero no pertenece a GM ∴ ningunasubcolecci´n finita o

de Gn |n > 2 puede formar una subcolecci´n finita para H ∴ H no es compacto o
Teorema. Sean X, Y compactos. Demuestrese que X × Y es compacto. Demostraci´n. Sea {ui }i∈I un recubrimiento abierto de X × Y . Entonces para todo p ∈ o

X × Y existe i ∈ I tal que p ∈ Ui y existen unicos Vp y Wp en X, Y respectivamente tales que p ∈ vp × wp .

La familia {vp × wp }p∈X×Y...