Conjuntos

CONJUNTOS-Resumen de Contenidos Notaci´n: Se acostumbra a denotar los conjuntos con letras may´sculas A, B, C, . . . y sus elementos o u con min´sculas a, b, c, . . .. u Pertenencia: Para A un conjunto, se anota a ∈ A para indicar que a es un elemento de A. Conjunto Vac´ Es el conjunto que no posee elementos. Se anota por ∅. ıo: Conjunto Universo: Se asume un conjunto (”grande”) de referencia U ,los elementos de los conjuntos con los que se trabaja pertenecen todos a U , o sea cada vez que se anota un conjunto se supone que sus elementos estan todos en U . Definici´n por extensi´n de un conjunto: Un conjunto ha sido definido por extensi´n cuando o o o sus elementos son exhibidos en su totalidad. Esto se consigue escribiendo la colecci´n de sus eleo mentos entre par´ntesis { }. e Ejemplo: A= {a, e, i, o, u}. Definici´n por comprensi´n de un conjunto: Un conjunto ha sido definido por compreno o si´n si se emplea una propiedad para describir a sus elementos. o Ejemplo: A = {letras vocales} = {a, e, i, o, u}. Igualdad de Conjuntos: Dos conjuntos A y B son iguales, se anota A = B, si y s´lo si ellos o poseen los mismos elementos. Inclusi´n de Conjuntos: Para A y B conjuntos, se dice A esun subconjunto de B, se anota o A ⊆ B, si y s´lo todos los elementos de A pertenecen a B. o Operaciones con Conjuntos: Sean A, B subconjuntos de un conjunto de referencia U . Intersecci´n: A ∩ B = {x ∈ U : x ∈ A y x ∈ B}, Uni´n: A ∪ B = {x ∈ U : x ∈ A o x ∈ B}. o o Diferencia: A − B = {x ∈ U : x ∈ A y x ∈ B}, Complemento: Ac = U − A = {x ∈ U : x ∈ A}. / / Propiedades de las Operaciones: 1. 2. A ∪A = A ∩ A = A. A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A.

3. 4. 5.

A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅, A ∪ U = U , A ∩ U = A. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∩ C). (Ac )c = A, (A ∪ B)c = Ac ∩ B c , (A ∩ B)c = Ac ∪ B c .

Cardinalidad: Sea A un conjunto. El n´mero de elementos de A se llama la cardinalidad de A. u Esto se anota n(A) o (A). Se cumple: n(∅) = 0, n(A ∪ B) = n(A) + n(B) −n(A ∩ B). Conjuntos Num´ricos: e 1. 2. 3. N´meros Naturales: N = {1, 2, 3, . . . , }, se utilizan para contar y se denominan tambien u n´meros enteros positivos. u N´meros enteros: Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . , }, tambi´n escrito como Z = {n = a − b : u e a, b ∈ N} conjunto que incluye a los naturales con sus opuestos (enteros negativos) y el cero. N´meros Racionales: Q = { p : p, q ∈Z, q = 0}, son todos los n´meros que se pueden escribir u u q en la forma de fracci´n en la cual el denominador (q) no puede ser cero. Los n´meros racionales o u se pueden sumar, multiplicar y dividir. Adem´s pueden ser expresados como n´meros deca u imales peri´dicos (cifras repetitivas). Para esto se divide el numerador por el denominador: o 7 4 el n´mero decimal resultante puede ser exacto (10 = 0, 7), peri´dico propiamente tal ( 3 = u o 1, 3333 . . . , 5 = 0, 714285714285714285 . . .) o bien semiperiodico ( 5 = 0, 83333 . . .). 7 6 N´meros Reales: R Conjunto formando por todos los n´meros racionales y aquellos n´meros u u u decimales que no pueden ser expresados exactamente como fracci´n, aunque pueden calcularse o con los decimales que se deseen. Tales n´meros se dicen irracionales(o inconmensurables). u Si I denota tal conjunto, se tiene que R = Q ∪ I.

4.

TALLER

1.

Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Considerar los conjuntos A = {x ∈ U : x es un n´mero par} , u y C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Determinar: i) A − B. i) B c . iii) A ∩ B c . Comparar i) con iii). iv) A − (B − C) y (A − B) − C. ¿Son iguales?. B = {x ∈ U : x es un n´mero impar} u

2.

Conla informaci´n del problema anterior determinar si se cumple la siguiente igualdad: o [(A ∪ B c )c − (A ∪ B c )] ∪ (A ∩ B) = B

3.

Dados los conjuntos U = {x ∈ N : x ≤ 16}, A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, , 4, 6, 8, 10}, C = {1, 5, 9, 10}. Hallar (A ∪ B ∪ C)c , (A − B) ∩ C, Ac ∪ C c .

4.

Sea A = {a, b, c}. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) a ∈ A d)...