Conjuntos
Páginas: 59 (14537 palabras)
Publicado: 10 de abril de 2012
1 CONJUNTOS
El concepto de conjunto es fundamental en matemáticas, particularmente, en probabilidad. Un conjunto se describe intuitivamente como una colección especifica de objetos. De este modo, la totalidad de estudiantes de la Licenciatura en Matemáticas de la Universidad de Sonora, los habitantes de una colonia de Hermosillo, Sonora, y el total de carros en un estacionamiento, son ejemplosde conjuntos.
Los conjuntos se representan con letras mayúsculas A, B, C, etc., y cuando es posible se describen sus elementos entre llaves separados por comas. Este es el caso, por ejemplo, del conjunto formado por las vocales V = {a, e, i, o, u}, y del conjunto de los números naturales N = {1,2, 3,…}. Sin embargo, esto no siempre es posible, como es caso del conjunto de los números reales.El símbolo ∈ sirve indicar la pertenencia de un elemento a un conjunto, mientras que el símbolo ∉ para indicar que no pertenece. Así, la afirmación “x ∈ B” indica que x es un elemento del conjunto B y se lee “x pertenece a B”; de manera análoga, la afirmación “y∉ B” indica que y no es un elemento de B y se lee “y no pertenece a B”.
Si todos los elementos de un conjunto A pertenecen a unconjunto B diremos que A está contenido en B, o que A es subconjunto de B, lo cual será denotado como “A ⊂B”. Dos conjuntos A y B son iguales si tienen exactamente los mismos elementos, lo cual ocurre si y sólo si A ⊂B y B⊂A.
El conjunto que consiste en la totalidad de los elementos bajo consideración en una discusión en particular es llamado conjunto universal. El conjunto universal lodenotaremos como U u Ω. Al conjunto que no tiene elemento alguno le llamaremos conjunto vacío o nulo, y lo representaremos mediante el símbolo ∅.
El conjunto formado por los elementos del conjunto universal que no pertenecen a A se le llama el conjunto complemento de A y se denota Ac.
Ejemplo 1.2 Si U es el conjunto formado por los estudiantes de la UNISON y A el conjunto de estudiantes de lalicenciatura de matemáticas, entonces Ac esta formado por los alumnos que no estudian la licenciatura en matemáticas.
Operaciones entre conjuntos En las siguientes definiciones A y B son subconjuntos cualesquiera de un conjunto universal fijo U.
Unión: La unión de A y B se denota como A ∪ B y se define como
A ∪ B = {x/x ∈ A o x∈ B}.
Ejemplo 1.3 Sea A = {1, 2, 3, 4, a, b, c} y B = {1, 5, 7,8, b, c}, entonces A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, a, b, c}
Intersección La intersección de A y B se representa mediante A ∩ B y se define como
A ∩ B = {x/x ∈ A y x ∈ B}.
Podemos parafrasear las definiciones anteriores de la siguiente manera: la unión de dos conjuntos es la reunión de los elementos de ambos conjuntos, mientras que la intersección es el conjunto formado por los elementosambos tienen en común.
Se dice que A y B son conjuntos ajenos o mutuamente excluyentes si A ∩ B = ∅.
Ejemplo 1.4 Si A = {1, 2, 3, 4, a, b, c} y B = {1, 5, 7, 8, b, c}, entonces A ∩ B = {1, b, c}.
Diferencia La diferencia de A y B se denota como A – B y se define como
A – B = {x/x ∈ A y x ∉ B}.
En otras palabras, A – B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A pero nopertenecen a B. De esto se sigue que A – B= A ∩ Bc.
Ejemplo 1.5 Sean U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d}, A = {1, 2, 3, 4, a, b, c} y B = {1, 5, 7, 8, b, c}, entonces A – B = A ∩ Bc = {1, 2, 3, 4, a, b, c} ∩ {2, 3, 4, 6, 9, a, d} = {2, 3, 4, a}.
Producto cartesiano El producto cartesiano de A y B se denota como A × B y se define como
A × B = {(a, b) / a ∈A y b ∈ B}.
Ejemplo 1.6Si A = {1, 2, 3} y B = {a, b}, entonces A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}.
Cardinalidad La cardinalidad de A es el número de elementos que tiene dicho conjunto. La denotaremos como n(A).
Ejemplo 1.7 Considerando al conjunto A definido en el Ejemplo 1.6, n(A) = 3.
Con frecuencia se requiere conocer la cardinalidad de la unión de dos, tres conjuntos o más conjuntos....
El concepto de conjunto es fundamental en matemáticas, particularmente, en probabilidad. Un conjunto se describe intuitivamente como una colección especifica de objetos. De este modo, la totalidad de estudiantes de la Licenciatura en Matemáticas de la Universidad de Sonora, los habitantes de una colonia de Hermosillo, Sonora, y el total de carros en un estacionamiento, son ejemplosde conjuntos.
Los conjuntos se representan con letras mayúsculas A, B, C, etc., y cuando es posible se describen sus elementos entre llaves separados por comas. Este es el caso, por ejemplo, del conjunto formado por las vocales V = {a, e, i, o, u}, y del conjunto de los números naturales N = {1,2, 3,…}. Sin embargo, esto no siempre es posible, como es caso del conjunto de los números reales.El símbolo ∈ sirve indicar la pertenencia de un elemento a un conjunto, mientras que el símbolo ∉ para indicar que no pertenece. Así, la afirmación “x ∈ B” indica que x es un elemento del conjunto B y se lee “x pertenece a B”; de manera análoga, la afirmación “y∉ B” indica que y no es un elemento de B y se lee “y no pertenece a B”.
Si todos los elementos de un conjunto A pertenecen a unconjunto B diremos que A está contenido en B, o que A es subconjunto de B, lo cual será denotado como “A ⊂B”. Dos conjuntos A y B son iguales si tienen exactamente los mismos elementos, lo cual ocurre si y sólo si A ⊂B y B⊂A.
El conjunto que consiste en la totalidad de los elementos bajo consideración en una discusión en particular es llamado conjunto universal. El conjunto universal lodenotaremos como U u Ω. Al conjunto que no tiene elemento alguno le llamaremos conjunto vacío o nulo, y lo representaremos mediante el símbolo ∅.
El conjunto formado por los elementos del conjunto universal que no pertenecen a A se le llama el conjunto complemento de A y se denota Ac.
Ejemplo 1.2 Si U es el conjunto formado por los estudiantes de la UNISON y A el conjunto de estudiantes de lalicenciatura de matemáticas, entonces Ac esta formado por los alumnos que no estudian la licenciatura en matemáticas.
Operaciones entre conjuntos En las siguientes definiciones A y B son subconjuntos cualesquiera de un conjunto universal fijo U.
Unión: La unión de A y B se denota como A ∪ B y se define como
A ∪ B = {x/x ∈ A o x∈ B}.
Ejemplo 1.3 Sea A = {1, 2, 3, 4, a, b, c} y B = {1, 5, 7,8, b, c}, entonces A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, a, b, c}
Intersección La intersección de A y B se representa mediante A ∩ B y se define como
A ∩ B = {x/x ∈ A y x ∈ B}.
Podemos parafrasear las definiciones anteriores de la siguiente manera: la unión de dos conjuntos es la reunión de los elementos de ambos conjuntos, mientras que la intersección es el conjunto formado por los elementosambos tienen en común.
Se dice que A y B son conjuntos ajenos o mutuamente excluyentes si A ∩ B = ∅.
Ejemplo 1.4 Si A = {1, 2, 3, 4, a, b, c} y B = {1, 5, 7, 8, b, c}, entonces A ∩ B = {1, b, c}.
Diferencia La diferencia de A y B se denota como A – B y se define como
A – B = {x/x ∈ A y x ∉ B}.
En otras palabras, A – B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A pero nopertenecen a B. De esto se sigue que A – B= A ∩ Bc.
Ejemplo 1.5 Sean U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d}, A = {1, 2, 3, 4, a, b, c} y B = {1, 5, 7, 8, b, c}, entonces A – B = A ∩ Bc = {1, 2, 3, 4, a, b, c} ∩ {2, 3, 4, 6, 9, a, d} = {2, 3, 4, a}.
Producto cartesiano El producto cartesiano de A y B se denota como A × B y se define como
A × B = {(a, b) / a ∈A y b ∈ B}.
Ejemplo 1.6Si A = {1, 2, 3} y B = {a, b}, entonces A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}.
Cardinalidad La cardinalidad de A es el número de elementos que tiene dicho conjunto. La denotaremos como n(A).
Ejemplo 1.7 Considerando al conjunto A definido en el Ejemplo 1.6, n(A) = 3.
Con frecuencia se requiere conocer la cardinalidad de la unión de dos, tres conjuntos o más conjuntos....
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